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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:06 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Samy12 |
| Aufgabe | Folgende Daten von schweizer Autofahrern von 1961 liegen vor:
k (Schäden): 0;1;2;3;4;5;6
Anzahl Risiken: 103704; 14075; 1766;255;45;6;2
(sollte eine Tabelle sein) Summe: 119853
Aufg. Es soll geprüft werden, ob eine Poisson-Verteilung vorliegt, d.h. dass alle VN die Verteilung [mm] Poi(\lambda) [/mm] besitzen.
a) Bestimmen Sie einen Schätzwert [mm] \lambda [/mm] (mit Strich drüber) für [mm] \lambda [/mm] aus den Daten.
b) Führen Sie den Chi²-Anpassungstest mit dem Wert aus a) durch. Betrachten Sie hierbei die Mengen N = 0, N = 1, N = 2 und N >= 3 und das Signifikanzniveau [mm] \alpha [/mm] = 2,5 %. |
Ich hoffe es kann mir jemand helfen, denn ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll. :(
Wie kann ich denn prüfen ob eine Poisson-Verteilung vorliegt?
Ich wäre euch so dankbar, wenn jemand helfen könnte.
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Samy12 |
Ich versteh nicht was ich machen soll. Also wie ich anfangen soll. Welche Formel, was einsetzen, etc.
Bitte gebt mir doch eine Starthilfe.
Also zumindestens für die a)
die b) würde ich glaub ich dann selbst hinbekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Sa 08.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Bitte gebt mir doch eine Starthilfe.
> Also zumindestens für die a)
Nun denn. Der Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] ist der Erwartungswert der Poissonverteilung. Dieser kann mittels des arithmetischen Mittels erwartungstreu geschaetzt werden. Fuer deine Daten errechne ich: [mm] $\bar [/mm] x= 0.1551$
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Samy12 |
E(X) = 0*P(X=0) + 1 * (PX=1) + ... +6*P(X=6)
E(X) = (0*103704+1*14075+2*1766+3*255+4*45+5*6+6*2) / 119853 = 0,155 das ist jetzt unser Lamda.
Theoretisch hätte ich auch die Varianz ausrechnen können oder? Da bei Poission E(X)=Var(X) = [mm] \lambda
[/mm]
Ist das jetzt unser Schätzwert? oder erst das [mm] \lambda [/mm] (mit Strich)?
Und vielen Dank für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Sa 08.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> E(X) = 0*P(X=0) + 1 * (PX=1) + ... +6*P(X=6)
> E(X) = (0*103704+1*14075+2*1766+3*255+4*45+5*6+6*2) /
> 119853 = 0,155 das ist jetzt unser Lamda.
> Theoretisch hätte ich auch die Varianz ausrechnen können
> oder? Da bei Poission E(X)=Var(X) = [mm]\lambda[/mm]
>
> Ist das jetzt unser Schätzwert?
$ [mm] \bar [/mm] x= 0.1551 $ ist der Schaetzwert fuer [mm] $\lambda$.
[/mm]
> oder erst das [mm]\lambda[/mm] (mit Strich)?
Wo ist der Unterschied?
> Und vielen Dank für die Hilfe :)
Gerne.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Samy12 |
Also wär dann hiermit die Frage a) erledigt?
Bei der b) hätte ich folgenden Ansatz:
e [mm] ^-\lambda [/mm] * [mm] \bruch{\lambda^k}{k !}
[/mm]
Mit dieser Formel kann ich dann die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und alle dann jeweils mit der Summe 119853 mulitiplizieren, damit ich dann die erwarteten Anzahlen erhalte.
0: 102643,93
1: 15909,81
2: 1233,01
3: 63,71
4: 2,47
5: 0,08
6: 0,001
Summe: 119853,01
Diese erwarteten Anzahlen kann ich dann in folgende Formel einsetzen:
[mm] Chi^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{6} [/mm] = [mm] \bruch{(Anz.beob.Anz. - Erwart.Anz.)^2}{Erwart. Anz.} \approx [/mm] 6193,68
Das Ergebnis wäre dann der Prüfwert. Da weiß ich allerdings nicht ob ich den brauche ?! :/
Weiter weiß ich jetzt leider nicht mehr. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Also wär dann hiermit die Frage a) erledigt?
>
> Bei der b) hätte ich folgenden Ansatz:
>
> e [mm]^-\lambda[/mm] * [mm]\bruch{\lambda^k}{k !}[/mm]
> Mit dieser Formel
> kann ich dann die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und alle
> dann jeweils mit der Summe 119853 mulitiplizieren, damit
> ich dann die erwarteten Anzahlen erhalte.
>
> 0: 102643,93
> 1: 15909,81
> 2: 1233,01
> 3: 63,71
> 4: 2,47
> 5: 0,08
> 6: 0,001
> Summe: 119853,01
>
> Diese erwarteten Anzahlen kann ich dann in folgende Formel
> einsetzen:
>
> [mm]Chi^2[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{6}[/mm] = [mm]\bruch{(Anz.beob.Anz. - Erwart.Anz.)^2}{Erwart. Anz.} \approx[/mm]
> 6193,68
> Das Ergebnis wäre dann der Prüfwert. Da weiß ich
> allerdings nicht ob ich den brauche ?! :/
>
> Weiter weiß ich jetzt leider nicht mehr. :(
Ohne es nachgerechnet zu haben, kommt mir das etwas viel vor, dass musst du nochmal sorgsam nachrechnen.
Aber Achtung: Du sollst wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe nur die Kategorien k=0,1,2 und [mm] \ge [/mm] 3 benutzen, also die ab 3 zu einer zusammenfassen.
Luis hat dir übrigens einen Link gegeben, bei dem Schritt für Schritt steht, was zu machen ist. Anstelle von dem pauschalen "ich weiß nicht weiter", schreib bitte etwas genauer, wo es hakt.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Samy12 |
| Aufgabe | Ohne es nachgerechnet zu haben, kommt mir das etwas viel vor, dass musst du nochmal sorgsam nachrechnen.
Aber Achtung: Du sollst wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe nur die Kategorien k=0,1,2 und 3 benutzen, also die ab 3 zu einer zusammenfassen.
Luis hat dir übrigens einen Link gegeben, bei dem Schritt für Schritt steht, was zu machen ist. Anstelle von dem pauschalen "ich weiß nicht weiter", schreib bitte etwas genauer, wo es hakt.
LG walde |
Was ist zu viel? Das [mm] Chi^2?
[/mm]
Aber das ist doch die richtige Formel gewesen oder?
Wie kann man denn das zusammenfassen mit N=0,1,2 und N>=3?
Leider weiß ich nicht, wie man diesen [mm] Chi^2-Anpassungstest [/mm] durchführt :(
Laut dem Link muss ich Freiheitsgrade abziehen.
also: 7-1 (für den Parameter) = 6 ?
Wenn ich dann den Wert in einer Chi Tabelle ablese für Signifikanzniveau 0,025 und Freiheitsgrad 6 dann steht da 1,237
Aber dieser Wert passt mal gar nicht zu dem Prüfwert den ich schon ausgerechnet habe. Aber da kommt irgendwie immer das selbe raus. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Ohne es nachgerechnet zu haben, kommt mir das etwas viel
> vor, dass musst du nochmal sorgsam nachrechnen.
>
> Aber Achtung: Du sollst wenn ich die Aufgabenstellung
> richtig verstanden habe nur die Kategorien k=0,1,2 und 3
> benutzen, also die ab 3 zu einer zusammenfassen.
>
> Luis hat dir übrigens einen Link gegeben, bei dem Schritt
> für Schritt steht, was zu machen ist. Anstelle von dem
> pauschalen "ich weiß nicht weiter", schreib bitte etwas
> genauer, wo es hakt.
>
> LG walde
> Was ist zu viel? Das [mm]Chi^2?[/mm]
Ja, das meinte ich.
> Aber das ist doch die richtige Formel gewesen oder?
Ja schon, davon abgesehen, dass eben nicht bis 6 summiert werden soll, hatte ich aber die Vermutung, dass du dich verrechnet hast.
> Wie kann man denn das zusammenfassen mit N=0,1,2 und
> N>=3?
Na, du hast doch die Anzahl der Schäden k= 0 bis 6 gegeben, und dazu jeweils die Anzahl. Das sind ingesamt 7 Kategorien. Da fasst du einfach 3 bis 6 zu einer zusammen (indem du die Anzahlen aufaddierst) und nennst sie [mm] 3\ge [/mm] ( wie in dem Beispiel [mm] 5\ge)
[/mm]
>
> Leider weiß ich nicht, wie man diesen [mm]Chi^2-Anpassungstest[/mm]
> durchführt :(
> Laut dem Link muss ich Freiheitsgrade abziehen.
> also: 7-1 (für den Parameter) = 6 ?
Du hast dann nur 4 Kategorien und schätzt einen Parameter, nämlich [mm] \lambda, [/mm] musst also 2 abziehen.
> Wenn ich dann den Wert in einer Chi Tabelle ablese für
> Signifikanzniveau 0,025 und Freiheitsgrad 6 dann steht da
> 1,237
>
> Aber dieser Wert passt mal gar nicht zu dem Prüfwert den
> ich schon ausgerechnet habe. Aber da kommt irgendwie immer
> das selbe raus. :/
Rechne nochmal mit 4 Kategorien. Und es wäre wahrscheinlich hilfreich, wenn du die Rechnung postest, nicht nur das Endergebnis.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Samy12 |
Ich komme bei dem Prüfwert immer wieder auf eine hohe Zahl. Kann das sein dass ich davor meine erwarteten Werte schon komplett falsch sind?
Meine Rechnung:
[mm] \bruch{\lambda^k}{k!} [/mm] * [mm] e^-\lambda
[/mm]
= [mm] \bruch{0,155^k}{k!} [/mm] * e^-0,155
das habe ich für alle k ausgerechnet. Wenn bei jedem dann die Summe von 119853,01 multipliziere bekomme ich folgendes raus:
k; beob.Anz.; erw.Anz.
0; 103704; 102643,93
1;14075; 15909,81
2;1766;1233,01
3; 255; 63,71
4; 45; 2,47
5; 6; 0,08
6; 2; 0,001
Wenn ich nun den Prüfwert berechnen will nehme ich folgende Formel:
[mm] Chi^2= \summe_{i=0}^{3} [/mm] = [mm] \bruch{(B_i - E_i)^2}{E_i}
[/mm]
[mm] B_i [/mm] = beob.Anz.
[mm] E_i [/mm] = erw.Anz.
= [mm] \bruch{(103704-102643,93)^2}{102643,93}+\bruch{(14075-15909,81)^2}{15909,81}+\bruch{(1766-1233,01)^2}{1233,01}+\bruch{(308-66,261)^2}{66,261}
[/mm]
= 1334,873
das letzte hab ich nun zusammengefasst, leider kommt immer noch so eine hohe Zahl raus. Wo steckt denn der Fehler?
Freiheitsgrad nun: 4-1-1=2
Aus der Tabelle der Wert für [mm] \alpha [/mm] = 2,5 % : 0,051
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
Da muss ich sagen, kann ich grade keinen Fehler entdecken.
Die Hypothese, dass es sich um eine Poissonverteilung handelt, wäre somit abzulehnen.(Da der Prüfwert den kritischen Wert zum Niveau übersteigt. )
Ich lasse die Frage aber mal auf unbeantwortet, vielleicht kann Luis oder jemand anderes das ja bestätigen oder findet den Fehler.
Lg walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Sa 08.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> [mm]Chi^2= \summe_{i=0}^{3}[/mm] = [mm]\bruch{(B_i - E_i)^2}{E_i}[/mm]
> [mm]B_i[/mm] =
> beob.Anz.
> [mm]E_i[/mm] = erw.Anz.
>
> =
> [mm]\bruch{(103704-102643,93)^2}{102643,93}+\bruch{(14075-15909,81)^2}{15909,81}+\bruch{(1766-1233,01)^2}{1233,01}+\bruch{(308-66,261)^2}{66,261}[/mm]
> = 1334,873
> das letzte hab ich nun zusammengefasst, leider kommt immer
> noch so eine hohe Zahl raus. Wo steckt denn der Fehler?
>
> Freiheitsgrad nun: 4-1-1=2
> Aus der Tabelle der Wert für [mm]\alpha[/mm] = 2,5 % : 0,051
Du musst den 97.5%-Punkt der Chi-Quadrat(2)-Verteilung, also 7.38 verwenden. Auf jeden Fall wird die Hypothese verworfen, da schon [mm] $\bruch{(103704-102643,93)^2}{102643,93}=10.95>7.38$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 09.12.2012 | | Autor: | Samy12 |
Noch ein paar Fragen:
Wieso muss ich denn 97,5 % verwenden und nicht 2,5 %?
Als Lösung der Aufgabe reicht es, wenn ich sage, dass die Hypothese verworfen wird, also dass das ganz nicht machbar ist?
Und vielen Dank an euch allen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 09.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Noch ein paar Fragen:
> Wieso muss ich denn 97,5 % verwenden und nicht 2,5 %?
[mm] $\chi^2$ [/mm] ist ein Mass dafuer, wie gut die beobachteten Werte mit den unter der Nullhypothese uebereinstimmen. Sind die Abweichungen zu gross, so spricht das gegen die Nullhypothese.
>
> Als Lösung der Aufgabe reicht es, wenn ich sage, dass die
> Hypothese verworfen wird, also dass das ganz nicht machbar
> ist?
Was meinst du mit machbar? Die Ablehnung der Nullhypthese bedeutet, dass hinreichend Hinweise dafuer vorliegen, dass die Poissonverteilung zur Modellierung nicht geeignet ist.
>
> Und vielen Dank an euch allen :)
Gerne. Gleichwohl die Bitte: Beschaeftige dich im Vorfeld einer Frage doch eingehender mit dem Lernstoff.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Samy12 |
Wie gehts denn jetzt weiter?
Kann mir denn keiner helfen? :(
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