Poisson'scher Grenzwertsatz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}np_n=a\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}B_{n,p_n}(k)=P_{a}(k) [/mm] für alle [mm] k\in\IN_0 [/mm] |
Hallo, da ich den Beweis nicht nachvollziehen kann, frage ich hier um Hilfe.
[mm] B_{n,p_n}(k)\sim\frac{n^k}{k!}p_n^k((1-p_n)^{1/p_n})^{np_n}\to P_{a}(k),n\to\infty
[/mm]
Zur Schreibweise:
[mm] a_n\sim b_n, [/mm] falls [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n/b_n=1
[/mm]
Was ich bislang habe:
[mm] \vektor{n \\ k}=\frac{n(n-1)***(n-k+1)}{k!}*\frac{n^k}{n^k}=\frac{n^k}{k!}\frac{n(n-1)***(n-k+1)}{n*n*n*n*n*n(k-mal)}\sim\frac{n^k}{k!}
[/mm]
Also: [mm] B_{n,p_n}(k)=\vektor{n \\ k}p_n^{k}(1-p_n)^{n-k}\sim \frac{n^k}{k!}p_n^{k}(1-p_n)^{n}(1-p_n)^{-k}=\frac{(n*p_n)^k}{k!}(1-p_n)^{n}(1-p_n)^{-k}\to\frac{a^k}{k!}(1-p_n)^{n}(1-p_n)^{-k}
[/mm]
Wie verschwinden das k und wie komme ich auf die auf [mm] P_a(k)=e^{-a}\frac{a^k}{k!}??
[/mm]
es gilt doch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+x/n)^n=e^x
[/mm]
also müsste doch folgendes gelten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-a/n)^n=e^{-a}
[/mm]
Ich komme aber nicht dadrauf..
Danke fürs Lesen
LG, Björn
|
|
| |
|
Hallo,
hier auch mal ein "push" 
LG, Björn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Do 16.01.2014 | | Autor: | Fry |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo :)
$p_n$ konvergiert ja gegen 0, daher konvergiert $\frac{1}{(1-p_n)^k$ gegen 1.
LG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Do 16.01.2014 | | Autor: | Fry |
Also es nicht klar, dass [mm]\lim_{n\to\infty} (1-\frac{np_n}{n})^n=e^-a[/mm],
da ja [mm]np_n[/mm] nicht konstant ist!
Allerdings ist [mm](1-\frac{np_n}{n})^n=e^{n*\log(1-p_n)}[/mm].
Ferner ist [mm]-\frac{t}{1-t}\le \log(1-t)\le -t[/mm] für 0< t< 1
und damit konvergiert [mm]n*\log(1-p_n)[/mm] gegen -a, woraus die Behauptung folgt.
|
|
|
| |
|
Hallo Fry,
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen,
Dass p 0 bzw. 1 sein könnte.
Hier ist es aber so, dass p sehr klein ist nach Vorraussetzung,
sodass es alles Sinn macht!
Danke nochmal!
LG, Björn
|
|
|
|
