Poissonapprox. d. Binomalvert. < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie die Poissonapproximation der Binomialverteilung. |
Hallo,
ich habe folgendes: Ich habe zudem noch Probleme wie man auf die einzelnen Schritte kommt. Könnt ihr helfen?
z.Z. [mm] \limes_{n\rightarrow\\IN} B_{n,p(n)}\{k\}=P_\lambda(\{k\})
[/mm]
p(n) [mm] \in [/mm] (0,1) [mm] \limes_{n\rightarrow\\IN} [/mm] n [mm] \cdot [/mm] p(n) = [mm] \lambda, [/mm] >0
[mm] n!=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ =0} \\ n(n-1)!, & \mbox{für } n \mbox{ n>0} \end{cases}
[/mm]
[mm] n^k [/mm] = k! (stimmt das?)
[mm] B_{n,p(n)}\{k\}=\vektor{n \\ k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
[/mm]
= [mm] \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot (\frac{\lambda}{n})^k \cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{{n-k}} =\frac{(n-1)\cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdots (n-k+1)}{k!} \cdot (\frac{\lambda}{n})^k \cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{{n-k}}
[/mm]
1. Wie komme ich denn hier von [mm] \frac{n!}{k!(n-k)!} [/mm] auf [mm] \frac{(n-1)\cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdots (n-k+1)}{k!}
[/mm]
weiter:
[mm] =(1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{k-1}{n}) \cdot (\frac{\lambda}{n})^k \cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{{n-k}}
[/mm]
2. Wie komme ich hier von [mm] \frac{(n-1)\cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdots (n-k+1)}{k!} [/mm] auf [mm] (1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{k-1}{n})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\IN} (1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{k-1}{n}) \cdot (\frac{\lambda}{n})^k \cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{{n-k}} [/mm]
= 1 [mm] \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}
[/mm]
= [mm] P_\lambda(\{k\})
[/mm]
Danke und Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 28.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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