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| Aufgabe | Sie laden alle Ihre Freunde und Bekannten zu einer Weihnachtsfeier ein. Sei die
Anzahl derjenigen, die Zeit haben und kommen, [mm] Poi(\lambda)-verteilt [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] > 0. Unabhängig voneinander (und unabhängig von der Gesamtzahl der Gäste) bringt Ihnen jeder Gast mit Wahrscheinlichkeit p [mm] \in [/mm] (0, 1] ein Geschenk mit. Bestimmen Sie die Verteilung der Anzahl der Geschenke, die Sie von Ihren Gästen erhalten. |
Hi,
also die Poissonverteilung lautet ja: [mm] P(X=k)=\bruch{\lambda^k}{k!}e^{- \lambda}. [/mm] Aber wie kann ich da jetzt die Verteilung der Geschenke bestimmen???
Danke für Hilfe.
Gruß
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Hallo Steve,
> Sie laden alle Ihre Freunde und Bekannten zu einer
> Weihnachtsfeier ein. Sei die
> Anzahl derjenigen, die Zeit haben und kommen,
> [mm]Poi(\lambda)-verteilt[/mm] mit [mm]\lambda[/mm] > 0. Unabhängig
> voneinander (und unabhängig von der Gesamtzahl der Gäste)
> bringt Ihnen jeder Gast mit Wahrscheinlichkeit p [mm]\in[/mm] (0, 1]
> ein Geschenk mit. Bestimmen Sie die Verteilung der Anzahl
> der Geschenke, die Sie von Ihren Gästen erhalten.
> Hi,
>
> also die Poissionverteilung lautet ja:
> [mm]P(X=k)=\bruch{\lambda^k}{k!}e^{- \lambda}.[/mm] Aber wie kann
> ich da jetzt die Verteilung der Geschenke bestimmen???
Überlege dir Folgendes:
Hier spielen zwei Verteilungen zusammen.
X sei die Anzahl der Gäste die kommen, und poisson-verteilt zum Parameter [mm] \lambda.
[/mm]
Y sei die Anzahl der Geschenke, die du bekommst, zum Parameter [mm] \lambda [/mm] und p.
Du suchst P(Y=n), die Verteilung von Y.
Überlege dir: wie groß muss X mindestens sein, damit Y=n ist?
(oder anschaulich  : Wieviele müssen mindestens kommen, damit du n Geschenke bekommst?)
Offensichtlich muss also [mm] X\ge [/mm] n gelten.
Nun bekommst du aber nicht automatisch n Geschenke, wenn X =m [mm] \ge [/mm] n ist.
Sondern: Es müssen von m Leuten genau n Leute ein Geschenk mitbringen (Mitbringwahrscheinlichkeit p).
Was ist das für eine Verteilung? Nun, offensichtlich eine Binomialverteilung!
Mit diesen Überlegungen kommst du nun zu der Formel für P(Y=n):
$P(Y=n) [mm] =\sum_{m=n}^{\infty}\underbrace{P(X=m)}_{\mbox{WA, dass m Leute kommen}}*\underbrace{\vektor{m\\n}*p^{n}*(1-p)^{m-n}}_{\mbox{WA, dass von den m Leuten n ein Geschenk mitbringen}}$
[/mm]
Lass dir das durch den Kopf gehen!
Bei dieser Formel kannst du nun noch viel vereinfachen!
Am Ende kommt eine Poisson-Verteilung zum Parameter [mm] \lambda*p [/mm] raus.
Grüße,
Stefan
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Hi, ja anschaulich ist immer gut .
> Mit diesen Überlegungen kommst du nun zu der Formel für P(Y=n):
> $ P(Y=n) [mm] =\sum_{m=n}^{\infty}\underbrace{P(X=m)}_{\mbox{WA, dass m Leute kommen}}\cdot{}\underbrace{\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n}}_{\mbox{WA, dass von den m Leuten n ein Geschenk mitbringen}} [/mm] $
> Lass dir das durch den Kopf gehen!
> Bei dieser Formel kannst du nun noch viel vereinfachen!
> Am Ende kommt eine Poisson-Verteilung zum Parameter $ [mm] \lambda\cdot{}p [/mm] $ raus.
Die Sache ist jetzt, rechts vom Malzeichnen haben wir ja die Bino.Verteilung, und ich weiß, dass die Binomi.verteilung gegen die Possionverteilung strebt, bei bestimmter Grenzwertbetrachtung. Ist ja in Wikipedia auch nochmal gut aufgführt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung#Beziehung_zur_Binomialverteilung
d.h. [mm] \underbrace{\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n}}_{\mbox{WA, dass von den m Leuten n ein Geschenk mitbringen}}=\bruch{\lambda^n}{n!}e^{- \lambda}
[/mm]
Nur, was mache ich jetzt mit [mm] \sum_{m=n}^{\infty}\underbrace{P(X=m)} [/mm] um für P(Y=n) auf [mm] \bruch{(p* \lambda)^n}{n!}e^{(p* (- \lambda))} [/mm] zu kommen, so habe ich das zumindest verstanden, wenn du sagst, es muss von p [mm] \lambda [/mm] abhängen.
Na dann, erstmal drüber schlafen
Gruß
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Hallo Steve,
> Hi, ja anschaulich ist immer gut .
>
> > Mit diesen Überlegungen kommst du nun zu der Formel für
> P(Y=n):
>
> > [mm]P(Y=n) =\sum_{m=n}^{\infty}\underbrace{P(X=m)}_{\mbox{WA, dass m Leute kommen}}\cdot{}\underbrace{\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n}}_{\mbox{WA, dass von den m Leuten n ein Geschenk mitbringen}}[/mm]
>
> > Lass dir das durch den Kopf gehen!
> > Bei dieser Formel kannst du nun noch viel vereinfachen!
> > Am Ende kommt eine Poisson-Verteilung zum Parameter
> [mm]\lambda\cdot{}p[/mm] raus.
>
>
> Die Sache ist jetzt, rechts vom Malzeichnen haben wir ja
> die Bino.Verteilung, und ich weiß, dass die
> Binomi.verteilung gegen die Possionverteilung strebt, bei
> bestimmter Grenzwertbetrachtung. Ist ja in Wikipedia auch
> nochmal gut aufgführt:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung#Beziehung_zur_Binomialverteilung
>
> d.h.
> [mm]\underbrace{\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n}}_{\mbox{WA, dass von den m Leuten n ein Geschenk mitbringen}}=\bruch{\lambda^n}{n!}e^{- \lambda}[/mm]
>
> Nur, was mache ich jetzt mit
> [mm]\sum_{m=n}^{\infty}\underbrace{P(X=m)}[/mm] um für P(Y=n) auf
> [mm]\bruch{(p* \lambda)^n}{n!}e^{(p* (- \lambda))}[/mm] zu kommen,
> so habe ich das zumindest verstanden, wenn du sagst, es
> muss von p [mm]\lambda[/mm] abhängen.
Gut, dass du das weißt, mit der Binomialverteilung und der Poisson-Verteilung.
Aber nun die Enttäuschung: das brauchst du hier gar nicht, bzw. kannst du gar nicht anwenden,
weil wir ja gar keine Grenzwertbetrachtung durchführen und n nicht notwendigerweise groß sein muss.
Nein, du kannst wirklich mit elementaren Umformungen zum Ergebnis kommen!
Ein Ansatz:
$P(Y=n) = [mm] \sum_{m=n}^{\infty}P(X=m)\cdot{}\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{m=n}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{m!}*e^{-\lambda}\cdot{}\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n}$
[/mm]
[mm] $=e^{-\lambda}*p^{n}*\sum_{m=n}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{m!}\cdot{}\frac{m!}{n!*(m-n)!}\cdot{}(1-p)^{m-n}$
[/mm]
[mm] $=\frac{e^{-\lambda}*p^{n}}{n!}*\sum_{m=n}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{(m-n)!}\cdot{}(1-p)^{m-n}
[/mm]
So, nun bist du dran -
Schreibe [mm] \lambda^{m} [/mm] = [mm] \lambda^{n}*\lambda^{m-n},
[/mm]
hol das [mm] \lambda^{n} [/mm] noch aus der Summe raus, dann steht da eine Exponentialreihe (nach ner kleinen Indexverschiebung).
Grüße,
Stefan
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Hi, vielen Dank bis hierher schonmal.
Also wenn ich dann deine Rechnung
> Ein Ansatz:
> $ P(Y=n) = [mm] \sum_{m=n}^{\infty}P(X=m)\cdot{}\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n} [/mm] $
> $ [mm] =\sum_{m=n}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{m!}\cdot{}e^{-\lambda}\cdot{}\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n} [/mm] $
> $ [mm] =e^{-\lambda}\cdot{}p^{n}\cdot{}\sum_{m=n}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{m!}\cdot{}\frac{m!}{n!\cdot{}(m-n)!}\cdot{}(1-p)^{m-n} [/mm] $
> [mm] $=\frac{e^{-\lambda}\cdot{}p^{n}}{n!}\cdot{}\sum_{m=n}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{(m-n)!}\cdot{}(1-p)^{m-n} [/mm]
fortsetze und deinen Tipp beachte, komme ich auf:
...
= [mm] \bruch{e^{-\lambda}*p^n*\lambda^n}{n!}* \sum_{m-n=0}^{\infty}\bruch{(\lambda -\lambda*p)^m}{m!} [/mm] und dann damit auf:
...
= [mm] \bruch{e^{-\lambda*p}*(p*\lambda)^n}{n!}
[/mm]
Kannst du das bestätigen???
Und das ist dann jetzt auch meine Vereitlung?? Aber die hängt ja immer noch von drei Parametern ab: [mm] \lambda, [/mm] p und n, dachte die soll nur von [mm] \lambda [/mm] und p abhängen?
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Hallo Steve,
> Hi, vielen Dank bis hierher schonmal.
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> Also wenn ich dann deine Rechnung
>
> > Ein Ansatz:
>
> > [mm]P(Y=n) = \sum_{m=n}^{\infty}P(X=m)\cdot{}\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n}[/mm]
>
> >
> [mm]=\sum_{m=n}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{m!}\cdot{}e^{-\lambda}\cdot{}\vektor{m\\n}\cdot{}p^{n}\cdot{}(1-p)^{m-n}[/mm]
>
> >
> [mm]=e^{-\lambda}\cdot{}p^{n}\cdot{}\sum_{m=n}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{m!}\cdot{}\frac{m!}{n!\cdot{}(m-n)!}\cdot{}(1-p)^{m-n}[/mm]
>
> >
> [mm]$=\frac{e^{-\lambda}\cdot{}p^{n}}{n!}\cdot{}\sum_{m=n}^{\infty}\frac{\lambda^{m}}{(m-n)!}\cdot{}(1-p)^{m-n}[/mm]
>
> fortsetze und deinen Tipp beachte, komme ich auf:
>
> ...
> = [mm]\bruch{e^{-\lambda}*p^n*\lambda^n}{n!}* \sum_{m-n=0}^{\infty}\bruch{(\lambda -\lambda*p)^m}{m!}[/mm]
Das ist etwas unschön, weil du von "m-n= 0" loszählst, aber rechts in der Summe nur m steht. Mache eine "richtige" Indexverschiebung im Sinne von: Aus "m=n" wird "m = 0" (dann stimmt übrigens die rechte Seite der Summe, also du musst nur in deinem Summenindex von m = 0 loszählen, dann ist es formal richtig).
> und dann damit auf:
>
> ...
> = [mm]\bruch{e^{-\lambda*p}*(p*\lambda)^n}{n!}[/mm]
>
> Kannst du das bestätigen???
Ja, das kann ich ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
> Und das ist dann jetzt auch meine Vereitlung?? Aber die
> hängt ja immer noch von drei Parametern ab: [mm]\lambda,[/mm] p und
> n, dachte die soll nur von [mm]\lambda[/mm] und p abhängen?
Eine "Vereitlung" ist es zum Glück nicht .
Naja, was du jetzt ausgerechnet hast, ist die Zähldichte deiner neuen Verteilung, weil wir ja mit [mm] $p_{Y}(n) [/mm] = P(Y=n)$ begonnen haben (deswegen ist auch ein n drin; bei der Poisson-Verteilungszähldichte steht schließlich auch p(n) = [mm] \frac{\lambda^{n}}{n!}*e^{-\lambda} [/mm] und du hast trotzdem nur den Parameter [mm] \lambda, [/mm] weil n ja beliebig sein kann, das wählst du ja aus, je nachdem, was du gerade berechnen möchtest). Also kannst du jetzt sagen, Y ist Poisson-verteilt zum Parameter [mm] \lambda*p.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Ok,
d.h. die Aufgabe wäre mit der Lösung [mm] p_{Y}(n) [/mm] = P(Y=n) = [mm] \bruch{e^{-\lambda\cdot{}p}\cdot{}(p\cdot{}\lambda)^n}{n!} [/mm] gelöst.
Ich frage mich jetzt gerade, wie man damit rechnen kann. Nehmen wir an, es kommen 10 Gäste, mit welcher W bekommt ich dann auch 10 Geschenke??
Muss ich da einfach nur die 10 für n einsetzen??
[mm] p_{Y}(10) [/mm] = P(Y=10) = [mm] \bruch{e^{-\lambda\cdot{}p}\cdot{}(p\cdot{}\lambda)^{10}}{10!}
[/mm]
eine genaue W. kriege ich ja trotzdem noch nicht heraus....
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Hallo Steve,
> Ok,
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> d.h. die Aufgabe wäre mit der Lösung [mm]p_{Y}(n)[/mm] = P(Y=n) =
> [mm]\bruch{e^{-\lambda\cdot{}p}\cdot{}(p\cdot{}\lambda)^n}{n!}[/mm]
> gelöst.
Ja. Du solltest eben noch schreiben, dass Y [mm] Poi(\lambda*p) [/mm] verteilt ist, weil danach in der Aufgabenstellung gefragt ist.
> Ich frage mich jetzt gerade, wie man damit rechnen kann.
> Nehmen wir an, es kommen 10 Gäste, mit welcher W bekommt
> ich dann auch 10 Geschenke??
Naja, das wäre einfach der erste Summand der Summe, die wir ganz oben bei P(Y=n) aufgestellt haben, nur ohne die Wahrscheinlichkeit P(X=10), weil du ja schon annimmst, dass 10 Leute kommen.
Es bleibt also nur die Binomialverteilung übrig! Jeder bringt mit Wahrscheinlichkeit p ein Geschenk mit, du hast n = 10 Versuche und willst k = 10 Treffer haben. --> P = [mm] p^{10}.
[/mm]
Die Formel, die du gerade hergeleitet hast, ist für deine Fragestellung nicht gedacht. Sie ist dafür gedacht, dass du nur angibst, wieviele Geschenke du haben möchtest (n) und dann wird dir ausgerechnet, mit welcher Wahrscheinlichkeit du diese Anzahl Geschenke bekommst.
Dir muss also [mm] \lambda [/mm] und p bekannt sein (also wie viele Leute durchschnittlich poisson-verteilt kommen = [mm] \lambda, [/mm] und mit welcher Wahrscheinlichkeit sie ein Geschenk mitbringen).
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Di 05.01.2010 | | Autor: | jaruleking |
Super vielen Dank mal wieder für eine Super Erklärungen. Solltest Lehrer werden
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