Polar- in Kartes. Koordinaten < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Di 29.05.2012 | | Autor: | Circus |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Polardarstellung
[mm] \rho (\phi)= \bruch{k}{1+\epsilon*\cos(\phi)}[/mm]
in den verschobenen Polarkoordinaten
[mm]x=\rho*\cos(\phi)+c[/mm] ; [mm]y=\rho*\sin(\phi)[/mm] (6)
zur Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten
[mm]\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
führt. (Es gilt: [mm]c^2=a^2+b^2[/mm])
Hinweis:
Schreiben Sie die Ellipsengleichung in der Form
[mm] \rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm]
und führen Sie auf der linken und auf der rechten Seite die karteischen Koordinaten gemäß der Gleichung (6) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1) habe die Gleichungen von (6) ein bisschen umgestellt:
[mm]x=\rho*\cos(\phi)+c[/mm] ; [mm]y=\rho*\sin(\phi)[/mm]
=>
[mm]\rho*\cos(\phi)=x-c[/mm] ; [mm]\rho=\bruch {y}{\sin(\phi)}[/mm]
dann in die Gleichung
[mm]\rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm] eingesetzt:
=>
[mm](\bruch {y}{\sin(\phi)})^2=[k-\epsilon*(x-c)}]^2[/mm]
2) k, [mm] \epsilon [/mm] und c ersetzen
[mm]c^2=a^2+b^2[/mm]
=>
[mm]c=(a^2+b^2)^{0,5}[/mm]
[mm]k=\bruch{b^2}{a}[/mm] (Formelsammlung)
[mm]\epsilon=\bruch{(a^2-b^2)^{0,5}}{a}[/mm] (Formelsammlung)
=>
[mm](\bruch {y}{\sin(\phi)})^2=[\bruch{b^2}{a}-\bruch{(a^2-b^2)^{0,5}}{a}*(x-(a^2+b^2)^{0,5}))}]^2[/mm]
Ab hier komme ich nicht wirklich weiter.
Ich habe zwar noch ein bisschen die Wurzeln ausmulitpliziert und da wo ich konnte zusammengefasst, aber das hat nichts erbracht außer Schreibarbeit - hätte jemand einen Hinweis/Tipp für mich?
Oder ist mein Ansatz schon verkehrt/fehlerhaft.
MfG
Circus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mi 30.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Circus!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Zeigen Sie, dass die Polardarstellung
>
> [mm]\rho (\phi)= \bruch{k}{1+\epsilon*\cos(\phi)}[/mm]
>
> in den verschobenen Polarkoordinaten
>
> [mm]x=\rho*\cos(\phi)+c[/mm] ; [mm]y=\rho*\sin(\phi)[/mm] (6)
>
> zur Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten
>
> [mm]\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
>
> führt. (Es gilt: [mm]c^2=a^2+b^2[/mm])
>
> Hinweis:
>
> Schreiben Sie die Ellipsengleichung in der Form
>
> [mm]\rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm]
>
> und führen Sie auf der linken und auf der rechten Seite
> die karteischen Koordinaten gemäß der Gleichung (6)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> 1) habe die Gleichungen von (6) ein bisschen umgestellt:
>
> [mm]x=\rho*\cos(\phi)+c[/mm] ; [mm]y=\rho*\sin(\phi)[/mm]
>
> =>
>
> [mm]\rho*\cos(\phi)=x-c[/mm] ; [mm]\rho=\bruch {y}{\sin(\phi)}[/mm]
>
> dann in die Gleichung
>
> [mm]\rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm] eingesetzt:
Ich würde eher [mm] $\rho^2=(x-c)^2+y^2$ [/mm] benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Do 31.05.2012 | | Autor: | chrisno |
> Hinweis:
>
> Schreiben Sie die Ellipsengleichung in der Form
>
> [mm]\rho^2=[k-\epsilon*\rho*\cos(\phi)}]^2[/mm]
Du solltest diesen Hinweis ernst nehmen, und selbst versuchen, diese Form zu erreichen. Mir gelingt es nicht.
$ [mm] \rho (\phi)= \bruch{k}{1+\epsilon\cdot{}\cos(\phi)} [/mm] $
$ [mm] \rho (\phi) \cdot(1+\epsilon\cdot{}\cos(\phi)) [/mm] = k$
$ [mm] \rho^2 (\phi) \cdot(1+\epsilon\cdot{}\cos(\phi))^2 [/mm] = [mm] k^2$
[/mm]
$ [mm] \rho^2 (\phi) [/mm] = [mm] k^2- 2\rho^2\epsilon\cdot{}\cos(\phi)+ \rho^2\epsilon^2\cdot{}\cos(\phi)^2$
[/mm]
Das soll das gleiche sein wie:
$ [mm] \rho^2 (\phi) [/mm] = [mm] k^2- 2\rho\epsilon [/mm] k [mm] \cdot{}\cos(\phi)+ \rho^2\epsilon^2\cdot{}\cos(\phi)^2$
[/mm]
Das geht nur wenn [mm] $\rho \equiv [/mm] k$, was Unsinn ist.
Also, vergiss diesen Hinweis.
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