Polardarstellung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Mampf |
| Aufgabe 1 | Sei [mm]z=a+ib[/mm] eine komplexe Zahl, wobei "i" die komplexe Einheit bezeichnet und a,b reele Zahlen sind.
e= Eulersche Zahl
a) Zeigen Sie, dass man auch [mm]z=r*e^{i\phi}[/mm] mit [mm]r,\phi x\in\IR [/mm]und [mm]r\ge 0[/mm] sowie [mm]-\Pi \le \phi \le \Pi [/mm]schreiben kann.
Dies ist die sogenannte Polardarstellung.
Nutzen Sie hierzu die Euler Formel: [mm]e^i\phi= \cos \phi + i *\sin \phi.[/mm]
Drücken Sie außerdem [mm]r, \phi [/mm]durch[mm] a,b[/mm] aus! |
| Aufgabe 2 | b)
Finden Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]z^5 = 32i[/mm] .
hierbei ist die Polardarstellung hilfreich. |
| Aufgabe 3 | c)
Finden Sie die kartesische Darstellung, [mm]z= a+i*b[/mm], einer komplexen Zahl, die beim multiplizieren jede komplexe Zhal um 300% sreckt und sie um 30° im Uhrzeigersinne dreht. |
zu a)
Gegeben:
- [mm]e^{i\phi}= \cos \phi + i *\sin \phi[/mm]
- [mm]r=|z|= (a^2+b^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
- [mm]\cos \phi = a*(a^2+b^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
- [mm] \sin \phi = b*(a^2+b^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
Gesucht: [mm]z=a+ib=r*e^{i\phi}[/mm]
Lösung:
Ich setze das was ich Gegeben habe einfach in die Gleichung ein und multipliziere was geht und erkenne, das sich die Wurzeln gegenseitig ausschalten:
[mm]z=a+i*b[/mm]
Außerdem:
[mm]\sin \phi = b*(a^2+b^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
=> [mm]\phi=\arcsin aus \sin b*(a^2+b^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
[mm]\cos \phi = b*(a^2+b^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
=>[mm] \phi=\arccos aus \cos b*(a^2+b^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
r habe ich schon mithilfe a und b ausgedrückt.
Frage: Reicht das aus um den "Tatbestand " zu zeigen? Oder sollte ich erklären wie ich auf meine Zusammenstellung "Gegeben" komme?
zu b)
[mm]z^5 = 32i[/mm] heißt doch nichts anderes als a=0 und b=32, oder?
Umwandlung in Polardrastellung :
[mm]z^5 = r^5*e{i*\phi*5}[/mm]
[mm]/phi = 1° = 0,017453293 im Bogenmaß[/mm]
Daraus nun die 5. Wurzel:
[mm]z=(a^2+b^2)^{0,5} * [\cos (\phi+2*\pi*k*5^{-1}) + i *\sin(\phi+2*\pi*k*5^{-1}) ][/mm]
(k=0,1,2,3,4) =>Formel aus Mathebuch
[mm]/phi = 1°[/mm]
Hier komme ich nicht weiter ; / ... ich weis das es ein Fünfeck geben soll, aber ich bekomme sehr kleine Wertunterschiede raus die KEIN fünfeck bilden =/
Wo ist mein Fehler?
zu c)
- 300% Streckung entspricht r=3
- Drehung um 30° im Uhrzeigersinn entspricht [mm] \phi= [/mm] -30°
Einsetzen ergibt in kartesische Form:
[mm]z= 2,598076211- i *1,5[/mm]
War mein Ansatz richtig?
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Ich würde mich sehr freuen wenn mir durch Hinweise geholfen werden könnte.
Ich bin leider noch nicht ganz vertraut mit komplexen Zahlen, daher meine Unsicherheit.
Jetzt schonmal vielen Dank!
MfG
Mampf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 So 07.11.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mampf,
viele Deiner Ansätze sind okay,aber trotzdem noch ein paar kleine Hinweise von mir.
In der ersten Aufgabe hast Du zur Winkelbestimmung mit dem Sinus und dem Kosinus gearbeitet. Das geht zwar, einfacher ist es aber hier den Tangens zu nehmen, da Real- und Imaginärteil der koplexen Zahl senkrecht aufeinander stehen und die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks bilden. Man erhält dann sofort
[mm] \tan \varphi = \bruch{b}{a} \, . [/mm]
In der zweiten Aufgabe beim Wurzelziehen hast Du in der Formel vergessen, dass es sich hierbei um keine quadratische Wurzel, sondern um die fünfte Wurzel handeln soll. Entspreechend verkürzt sich der Wert für den ermittelten Radius und alle fünf Werte liegen in den Spitzen eines gleichmäßigen Fünfecks. Die Potenz ist also nicht 0,5, sondern 0,2.
Bei c) ist Dein Ansatz richtig, ich habe jedoch jetzt nicht nachgerechnet, ob die Umrechnung in eine kartesische Darstellung okay ist. Was sicher richtig ist wegen der Drehung im Uhrzeigersinn, ist der negative Imaginärteil.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 07.11.2010 | | Autor: | Mampf |
In der zweiten Aufgabe beim Wurzelziehen hast Du in der Formel vergessen, dass es sich hierbei um keine quadratische Wurzel, sondern um die fünfte Wurzel handeln soll. Entspreechend verkürzt sich der Wert für den ermittelten Radius und alle fünf Werte liegen in den Spitzen eines gleichmäßigen Fünfecks. Die Potenz ist also nicht 0,5, sondern 0,2.
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Tausend Dank für die Hilfe!
Leider geht mir nur noch eines nicht wirklich durch den Kopf:
Ich werde dies gleich mal mit der 5. Wurzel statt der quadratischen ausprobieren, aber ich dachte, die 5. Wurzel fiele weg:
- Formel für Polardarstellung n-ter Potenz:
[mm] z^n [/mm] = [mm] r^n [/mm] * [mm] [\cos (n*\Phi) [/mm] + [mm] i*\sin(n*\Phi)]
[/mm]
- Formel dementsprechend für n-te Wurzel:
[mm] \wurzel[n]{z^n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r^n} [/mm] * [mm] [\cos ((\Phi+2*\Pi*k)*n^{-1}) [/mm] + [mm] i*\sin((\Phi+2*\Pi*k)*n^{-1})]
[/mm]
Dadurch sollte doch die 5. Wurzel und die 5. potenz bedeutungslos werden, zurück bleibt nur noch r, wobei [mm] r=(a^2+b^2)^{0,5}.
[/mm]
Oder?
MfG Mampf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 07.11.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo mampf,
in Deiner Formel von Moivre (so heisst dieses Ungetüm), taucht ein n zuviel auf. Löse Dich mal von der Quadratwurzel und schreibe den Kehrwert der Potenz n, denn den brauchst Du für das "Wurzelziehen" als 1/n. Dies ist demzufolge die n-te Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Wenn Du eine der n Lösungen wieder hoch n nimmst, musst Du doch wieder auf die ursprüngliche Ausgangszahl kommen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 07.11.2010 | | Autor: | Mampf |
Also folgendermaßen:
[mm] \wurzel[n]{z^n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r} [/mm] * [mm] [\cos ((\Phi+2*\Pi*k)*n^{-1}) [/mm] + [mm] i*\sin((\Phi+2*\Pi*k)*n^{-1})]?
[/mm]
Damit:
[mm] \Phi= [/mm] 0,0174532993
k=(0,1,2,3,4)
[mm] \wurzel[5]{z^5} [/mm] = [mm] r^{0,2} [/mm] * [mm] [\cos ((\Phi+2*\Pi*k)*5^{-1}) [/mm] + [mm] i*\sin((\Phi+2*\Pi*k)*5^{-1})]
[/mm]
Ergeben sich aber wieder nur Werte, die kein Fünfeck bilden:
k=0 => 4 + i*0,000243694
K=1 => 3,999011066 + i*0,088940956
k=2 => 3,996141663 + i*0,175646831
k=3 => 3,991328507 + i*0,263242754
k=4 => 3,984595469 + i*,350712054
Bestimmt ist es ein ganz doofer Fehler aber ich finde ihn nicht ;(
MfG
Mampf
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Hallo Mampf,
>
>
> Also folgendermaßen:
>
> [mm]\wurzel[n]{z^n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{r}[/mm] * [mm][\cos ((\Phi+2*\Pi*k)*n^{-1})[/mm]
> + [mm]i*\sin((\Phi+2*\Pi*k)*n^{-1})]?[/mm]
>
> Damit:
> [mm]\Phi=[/mm] 0,0174532993
Dieser Winkel [mm]\Phi[/mm] stimmt nicht.
>
> k=(0,1,2,3,4)
>
> [mm]\wurzel[5]{z^5}[/mm] = [mm]r^{0,2}[/mm] * [mm][\cos ((\Phi+2*\Pi*k)*5^{-1})[/mm]
> + [mm]i*\sin((\Phi+2*\Pi*k)*5^{-1})][/mm]
Hier muss es doch so heißen:
[mm]\wurzel[5]{z} = r^{0,2} * [\cos ((\Phi+2*\Pi*k)*5^{-1})+i*\sin((\Phi+2*\Pi*k)*5^{-1})][/mm]
>
> Ergeben sich aber wieder nur Werte, die kein Fünfeck
> bilden:
>
> k=0 => 4 + i*0,000243694
> K=1 => 3,999011066 + i*0,088940956
> k=2 => 3,996141663 + i*0,175646831
> k=3 => 3,991328507 + i*0,263242754
> k=4 => 3,984595469 + i*,350712054
r ist hier 32, also [mm]\wurzel[5]{32}=32^{0,2}= \ ... [/mm]
>
> Bestimmt ist es ein ganz doofer Fehler aber ich finde ihn
> nicht ;(
>
> MfG
>
> Mampf
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 07.11.2010 | | Autor: | Mampf |
Winkel kann ich ja schlecht dadurch berechnen, dass ich einfach in die formel
[mm] \tan (\Phi) [/mm] = a/b
einsetze, da bei
[mm] z^5=32*i
[/mm]
b=32 und a=0 ist
dann habe ich eben den Winkel [mm] \Phi [/mm] durch einsetzen in die Mouvri-Formel ausgerechnet:
[mm]\sin \Phi = b*(a^2+b^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
=> [mm]\Phi=\arcsin aus \sin 32*(0^2+32^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
=> [mm] \Phi=1° [/mm] bzw im Bogenmaß 0,17453293
oder liegt hier etwa der Hund begraben?
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Hallo Mampf,
> Winkel kann ich ja schlecht dadurch berechnen, dass ich
> einfach in die formel
>
> [mm]\tan (\Phi)[/mm] = a/b
>
> einsetze, da bei
>
> [mm]z^5=32*i[/mm]
>
> b=32 und a=0 ist
>
> dann habe ich eben den Winkel [mm]\Phi[/mm] durch einsetzen in die
> Mouvri-Formel ausgerechnet:
>
> [mm]\sin \Phi = b*(a^2+b^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> => [mm]\Phi=\arcsin aus \sin 32*(0^2+32^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> => [mm]\Phi=1°[/mm] bzw im Bogenmaß 0,17453293
>
> oder liegt hier etwa der Hund begraben?
>
>
In der Tat liegt hier der Hund begraben.
Sicher kennst Du diese Formel:
[mm]z=r*\cos\left(\Phi\right)+i*r*\sin\left(\Phi\right)[/mm]
Dies angewandt auf [mm]z=32i[/mm] ergibt:
[mm]r*\cos\Phi\right)=0[/mm]
[mm]r*\sin\Phi\right)=32[/mm]
Daraus folgt: [mm]r= \ ... \ , \ \Phi= \ ...[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 So 07.11.2010 | | Autor: | Mampf |
Upsala..falsch arcsin/arcos gerechnet ;(
mhm wenn ich für r=32 habe bekomme ich für [mm] \Phi=90° [/mm] raus.
mein neues r in der wurzelrechnung ist dabei nun [mm] (32^2)^{0,2}=4
[/mm]
Ich werde mal damit weiterrechnen (r=4 und [mm] \Phi=90°=1,570796327 [/mm] Bogenmaß)
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 07.11.2010 | | Autor: | Mampf |
Okay es kommen leider wieder nur falsche Werte raus die kein regelmäßgies Fünfeck bilden.
Mit der Formel:
[mm]z=(a^2+b^2)^{1/n} * [\cos (\phi+2*\pi*k*n^{-1}) + i *\sin(\phi+2*\pi*k*n^{-1}) ][/mm]
gehe ich immer so vor:
[mm]z(k=0)=(0^2+32^2)^{0,2} * [\cos (1,5707+2*\pi*0*5^{-1}) + i *\sin(1,5707+2*\pi*0*5^{-1}) ][/mm]
[mm]z(k=0)= 4*0,99984+4*i*0,005483086[/mm]
wobei der 1. Sumann minimalst kleiner wird und der 2. Summand (mit i) immer minimalst größer wird (also für k=1,2,3,4).
Was mache ich bloß falsch, es ist zum Hunde melken (der ja schon begraben ist!)....
MfG
Mampf
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Hallo Mampf,
> Okay es kommen leider wieder nur falsche Werte raus die
> kein regelmäßgies Fünfeck bilden.
>
> Mit der Formel:
>
> [mm]z=(a^2+b^2)^{1/n} * [\cos (\phi+2*\pi*k*n^{-1}) + i *\sin(\phi+2*\pi*k*n^{-1}) ][/mm]
>
> gehe ich immer so vor:
>
> [mm]z(k=0)=(0^2+32^2)^{0,2} * [\cos (1,5707+2*\pi*0*5^{-1}) + i *\sin(1,5707+2*\pi*0*5^{-1}) ][/mm]
Rechne doch hier mit dem exakten Wert [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]z(k=0)= 4*0,99984+4*i*0,005483086[/mm]
>
> wobei der 1. Sumann minimalst kleiner wird und der 2.
> Summand (mit i) immer minimalst größer wird (also für
> k=1,2,3,4).
Vielleicht rechnest Du
[mm]\phi+2*\pi*k*n^{-1}[/mm]
statt
[mm]\bruch{\phi+2*\pi*k}{n}[/mm]
>
> Was mache ich bloß falsch, es ist zum Hunde melken (der ja
> schon begraben ist!)....
>
> MfG
>
> Mampf
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 07.11.2010 | | Autor: | Mampf |
Ich rechne schon die ganze Zeit mit [mm] \Pi/2 [/mm] und bei dem andern:
[mm]z=(a^2+b^2)^{1/n} * [\cos ((\phi+2*\pi*k*)n^{-1}) + i *\sin((\phi+2*\pi*k*)n^{-1}) ][/mm]
habe ich immer vergessen mit Klammern zu schreiben, aber immer mit Klammern gerechnet.
Könnte es einfach dran liegen das die Werte mir falsch vorkommen weil es sich nicht um Polardarstellungen handelt, oder liegt es an etwas anderem?
hier meine Lösungen:
z(k=0)=3,999939871+i*0,021932344
z(k=1)=3,998496867+i*0,027412134
z(k=2)=3,995130534+i*0,197311982
z(k=3)=3,995130534+i*0,28488052
z(k=4)=3,982635278+i*0,372312027
MfG
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Hallo Mampf,
> Ich rechne schon die ganze Zeit mit [mm]\Pi/2[/mm] und bei dem
> andern:
>
> [mm]z=(a^2+b^2)^{1/n} * [\cos ((\phi+2*\pi*k*)n^{-1}) + i *\sin((\phi+2*\pi*k*)n^{-1}) ][/mm]
>
> habe ich immer vergessen mit Klammern zu schreiben, aber
> immer mit Klammern gerechnet.
>
> Könnte es einfach dran liegen das die Werte mir falsch
> vorkommen weil es sich nicht um Polardarstellungen handelt,
> oder liegt es an etwas anderem?
>
> hier meine Lösungen:
>
> z(k=0)=3,999939871+i*0,021932344
> z(k=1)=3,998496867+i*0,027412134
> z(k=2)=3,995130534+i*0,197311982
> z(k=3)=3,995130534+i*0,28488052
> z(k=4)=3,982635278+i*0,372312027
Das ist in der Tat komisch.
Mein erster Gedanke ist, daß Du möglicherweise
Deinen TR nicht auf "RAD" umgestellt hast.
>
> MfG
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 07.11.2010 | | Autor: | Mampf |
Ja genau! Daran hats gelegen! Och menno ich glaub ich brauch mehr Schlaf >,<.
Tausend Dank und somit kommen endlich "gescheite" werte raus!
Die einfachsten Sachen vergisst man so leicht nachzuprüfen, vorallem Schussel wie meinereiner.
Danke für die Geduld MathePower, schoen abend noch!
MfG
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