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| Aufgabe | Geben sie die Polarform von z an
[mm]z = \bruch{\left(1-i\right)^6}{\left(\wurzel{3}+i\right)^5}[/mm] |
Mein Ansatz hier ist folgender:
[mm]z = \bruch{z_{1}}{z_{2}}[/mm]
[mm]
\begin{matrix}
z_{1} &=& (1-i)^6\\
\ &=& ???
\end{matrix}
[/mm]
Mein Problem an dieser Stelle ist, wie genau ich mit dem Vorzeichen von i verfahre und wie es sich auf die resultierende Polardarstellung auswirkt.
[mm]
\begin{matrix}
z_{2} &=& (\wurzel{3}+i)^5\\
\ &=& \wurzel{\wurzel{3}^2 + 1^2}^5 * (cos (5*\phi) + i*sin(5*\phi))\\
\ &=& 32 * (cos150° + i*sin150°)\\
\ &=& 32 * (cos(\bruch{5}{6}\pi) + i*sin(\bruch{5}{6}\pi))
\end{matrix}
[/mm]
Sind hier weitere Vereinfachungen/Umformungen/Verschönerungen möglich?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Di 14.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wastelander!
Für [mm] $z_1$ [/mm] gilt:
[mm] $$\left|z_1\right| [/mm] \ = \ [mm] r_1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1^2+(-1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{2}$$
[/mm]
[mm] $$\arctan(\varphi_1) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-1}{1} [/mm] \ = \ -1 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ [mm] \varphi_1 [/mm] \ = \ -45° \ [mm] \hat= [/mm] \ 315°$$
Nun zunächst [mm] $z_1^6$ [/mm] ermitteln ...
Gruß
Loddar
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