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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Fr 21.09.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | | Gegeben ist [mm] (1+2i)^{4} [/mm] Berechnen Sie die Polarform |
Hi
die Ausgangsaufgabe war: Berechnen Sie den Realteil und Imaginärteil [mm] von(\bruch{3+i}{1-i})^{4}. [/mm] Das Ergebnis davon ist [mm] (1+2i)^{4}. [/mm] Bin ich mir mehr als sicher, dass das richtig ist.
Und von diesem Ergebnis [mm] (1+2i)^{4} [/mm] sollen wir die Polarform bilden. Als Ergebnis stand da 1 + 2i
Um die Polarform zu berechnen stand diese Formel an der Tafel
[mm] |z|^{n}*(cos [/mm] (n*φ) + i sin ( n * φ)
Das Ergebnis, auf das ich leider nicht komme soll 1 + 2 i sein...
So siehts mir aus:
[mm] |z|^{n} [/mm] = [mm] \wurzel{1^{2}+2^{2}}^{4} [/mm] = 25
cos [mm] (4*tan^{-1}( \bruch{[red]2[/red]}{[green]1[/green]} [/mm] = cos(253,7397)
sin [mm] (4*tan^{-1}( \bruch{[red]2[/red]}{[green]1[/green]} [/mm] = sin(253,7397)
25 * [cos(253,7397) + i sin(253,7397] = -7 - 24 i
Aber wie ihr seht kommt anstatt 1+2i bei mir -7 - 24 i. Habt ihr auch -7 - 24 i raus bzw. was habt ihr raus???
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Hallo betina,
es gibt ja zwei Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen. Entweder Du formst (1+2i) in die Polarform an und wendest dann die Moivre-Formel an - oder Du rechnest [mm] (1+2i)^4 [/mm] kartesisch aus und wandelst dann in die Polarform um. Natürlich muss das Ergebnis bei beiden Wegen gleich sein.
> Gegeben ist [mm](1+2i)^{4}[/mm] Berechnen Sie die Polarform
> Hi
> die Ausgangsaufgabe war: Berechnen Sie den Realteil und
> Imaginärteil [mm]von(\bruch{3+i}{1-i})^{4}.[/mm] Das Ergebnis davon
> ist [mm](1+2i)^{4}.[/mm] Bin ich mir mehr als sicher, dass das
> richtig ist.
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und von diesem Ergebnis [mm](1+2i)^{4}[/mm] sollen wir die
> Polarform bilden.
Das ist einer der beiden Wege, die ich oben genannt habe.
> Als Ergebnis stand da 1 + 2i
>
> Um die Polarform zu berechnen stand diese Formel an der
> Tafel
> [mm]|z|^{n}*(cos[/mm] (n*φ) + i sin ( n * φ)
>
> Das Ergebnis, auf das ich leider nicht komme soll 1 + 2 i
> sein...
> So siehts mir aus:
> [mm]|z|^{n}[/mm] = [mm]\wurzel{1^{2}+2^{2}}^{4}[/mm] = 25
> cos [mm](4*tan^{-1}( \bruch{[red]2[/red]}{[green]1[/green]}[/mm] = cos(253,7397)
>
> sin [mm](4*tan^{-1}( \bruch{[red]2[/red]}{[green]1[/green]}[/mm] = sin(253,7397)
>
> 25 * [cos(253,7397) + i sin(253,7397] = -7 - 24 i
>
> Aber wie ihr seht kommt anstatt 1+2i bei mir -7 - 24 i.
> Habt ihr auch -7 - 24 i raus bzw. was habt ihr raus???
Deine Rechnung ist völlig richtig.
Die Musterlösung ist also falsch.
Grüße
reverend
PS: Innerhalb des Formeleditors gehen die Farbmarkierungen anders als im Fließtext, dessen Befehle Du hier verwendet hast.
[mm] \bruch{\red{2}}{\green{1}} [/mm] schreibt man so: \bruch{\red{2}}{\green{1}}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Fr 21.09.2012 | | Autor: | betina |
Hi reverend!!!
Gut dann ist ja mein Ergebnis doch richtig  Diese Formel, die ich da angewendet habe, find ich jedoch ein bisschen umständlich, vorallendingen was es bei der Eingabe in Taschenrechner angeht...
Du hast jetzt von zwei Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen, gesprochen. Welches von diesen zweien habe ich angewendet?
Du würdest mir einen großen Gefallen tun, wenn du dir mal bitte diese Internetseite anguckst, wo auch eine Formel steht, die aber von der Schreibweise her viel übersichtlicher ist, als die die ich angewendet habe..Wenn ich aber diese Formel von dieser Internetseite anwende komme ich leider nicht auf das ergebnis -7 - 24 i. Sorry ..
http://www.hh.schule.de/hhs/info11-13/bio-babs/polar.htm
Ich hab folgedes in meinen Taschenrechner eingegeben:
Für cos φ = [mm] \bruch{a}{|z|} [/mm] habe ich cos φ = [mm] \bruch{1}{25}
[/mm]
Für sin φ = [mm] \bruch{b}{|z|} [/mm] habe ich sin φ = [mm] \bruch{2}{25}
[/mm]
Für z = |z|* (cos φ + i sin φ) habe ich z = 25 * (cos [mm] \bruch{1}{25} [/mm] + i sin [mm] \bruch{2}{25}) [/mm] und erhalte 24,9999999 + 0,03490 i....
Ich habe bestimmt was mit der Hochzahl 4 nicht richtig angewendet.. Stimmts?
Wie müsste es hier aussehen, wie nach der Internetseite, wo aber auch bei mir dann ein richitges Ergebnis rauskommt
Und wenn du/ihr mir dabei weitergeholfen hast/habt, habe ich noch eine Frage im Bezug auf das φ (aber hier das geht jetzt vor  )
Super vielen Dank schonmal
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Hi!
> Hi reverend!!!
>
> Gut dann ist ja mein Ergebnis doch richtig Diese
> Formel, die ich da angewendet habe, find ich jedoch ein
> bisschen umständlich, vorallendingen was es bei der
> Eingabe in Taschenrechner angeht...
Naja, so umständlich ist sie nun auch nicht.
> Du hast jetzt von zwei Möglichkeiten, diese Aufgabe zu
> lösen, gesprochen. Welches von diesen zweien habe ich
> angewendet?
Du hast die sogenannte "Moivre-Formel" verwendet.
> Du würdest mir einen großen Gefallen tun, wenn du dir mal
> bitte diese Internetseite anguckst, wo auch eine Formel
> steht, die aber von der Schreibweise her viel
> übersichtlicher ist, als die die ich angewendet habe..Wenn
> ich aber diese Formel von dieser Internetseite anwende
> komme ich leider nicht auf das ergebnis -7 - 24 i. Sorry
> ..
> http://www.hh.schule.de/hhs/info11-13/bio-babs/polar.htm
Auf dieser Internetseite wird beschrieben, wie du eine Komplexe Zahl, welche in Normalform vorliegt in eine komplexe Zahl in Polarform umwandelst.
Es gibt ja drei Darstellungsarten komplexer Zahlen.
1. Normalform: [mm]z=a+bi[/mm]
2. Polarform: [mm] $z=r(cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi))$
[/mm]
3. Eulerform: [mm]z=r\cdot e^{i\varphi}[/mm]
Man kann die drei Formen ineinander umwandeln.
Auf die Moivre Formel kommt man zum Beispiel sehr leicht über die Eulerform:
Es gilt: [mm](cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi))^n)=(e^{i\varphi})^n=e^{i\varphi \cdot n}=cos(n\cdot \varphi)+i\cdot sin(n\cdot \varphi)[/mm]
Du hättest deine Aufgabe also genausogut über die Eulerform berechnen können, indem du zunächst dein Argument innerhalb der Klammer in die Eulerform umwandelst.
[mm](1+2i)[/mm] in Eulerform:
[mm]r=|z|=\sqrt{(1^2+2^2)}=\sqrt{5}[/mm]
[mm]\varphi=arctan(\frac{2}{1})=63,43^\circ[/mm]
also: [mm]z=\sqrt{5}\cdot e^{i63,43^\circ}[/mm]
Jetzt betrachte im nächsten Schritt also:
[mm](1-2i)^4=(\sqrt{5}\cdot e^{i63,43^\circ})^4[/mm]
Hier kannst du weitermachen.
Mit Hilfe der Potenzgesetze musst du die "hoch 4" nun in den Exponenten bringen.
Danach Wandelst du die komplexe Zahl in die Normform zurück.
Valerie
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Hallo betina,
ich vermute mal, dass Du von der Eulerform einer komplexen Zahl noch gar nichts gehört hast, oder? Dann - und nur dann - wirst Du mit Valeries Antwort leider nicht viel anfangen können. Wenn Ihr aber die Eulerform hattet, dann lies ihre Antwort genau.
> Gut dann ist ja mein Ergebnis doch richtig Diese
> Formel, die ich da angewendet habe, find ich jedoch ein
> bisschen umständlich, vorallendingen was es bei der
> Eingabe in Taschenrechner angeht...
Tja, da sind Fallen. Siehe unten.
> Du hast jetzt von zwei Möglichkeiten, diese Aufgabe zu
> lösen, gesprochen. Welches von diesen zweien habe ich
> angewendet?
Deine Formel wandelt die komplexe Zahl erst in die Polarform um und wendet dann direkt die Moivre-Formel darauf an.
> Du würdest mir einen großen Gefallen tun, wenn du dir mal
> bitte diese Internetseite anguckst, wo auch eine Formel
> steht, die aber von der Schreibweise her viel
> übersichtlicher ist, als die die ich angewendet habe..Wenn
> ich aber diese Formel von dieser Internetseite anwende
> komme ich leider nicht auf das ergebnis -7 - 24 i. Sorry
> ..
Dann machst Du wohl irgendetwas falsch.
> http://www.hh.schule.de/hhs/info11-13/bio-babs/polar.htm
>
> Ich hab folgedes in meinen Taschenrechner eingegeben:
>
> Für cos φ = [mm]\bruch{a}{|z|}[/mm] habe ich cos φ =
> [mm]\bruch{1}{25}[/mm]
> Für sin φ = [mm]\bruch{b}{|z|}[/mm] habe ich sin φ =
> [mm]\bruch{2}{25}[/mm]
Klingt gut.
> Für z = |z|* (cos φ + i sin φ) habe ich z = 25 * (cos
> [mm]\bruch{1}{25}[/mm] + i sin [mm]\bruch{2}{25})[/mm] und erhalte
> 24,9999999 + 0,03490 i....
Nein, das stimmt nicht. Du hast Deinen Taschenrechner noch in der Einstellung "DEG" (Altgrad). Die Formel gilt aber für Winkelangaben im Bogenmaß. Die Einstellung des Taschenrechners dafür heißt "RAD".
> Ich habe bestimmt was mit der Hochzahl 4 nicht richtig
> angewendet.. Stimmts?
Die kommt doch noch gar nicht vor. Bisher hast Du Deinen TR nur dazu genutzt, die Umrechnung in die Polarform vorzunehmen. Schau Dir Deine Formel noch einmal an.
> Wie müsste es hier aussehen, wie nach der Internetseite,
> wo aber auch bei mir dann ein richitges Ergebnis rauskommt
Wende das oben einmal an, dann sollte es stimmen.
> Und wenn du/ihr mir dabei weitergeholfen hast/habt, habe
> ich noch eine Frage im Bezug auf das φ (aber hier das geht
> jetzt vor )
Na, da bin ich gespannt.
> Super vielen Dank schonmal
Gern geschehen. Das ist doch der Sinn dieses Forums.
Grüße
reverend
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