Polarform Winkelberechnung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 So 26.04.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Polarform von z...
also |z| sowie cos [mm] \alpha [/mm] u. sin [mm] \alpha.
[/mm]
1. z= 1 + 2i
2. z = 77i
3. z = -5 -12i
4. -3 -3i
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Moin,
meine Frage ist, warum bei den Aufgaben z.T. verschiedene Winkel herauskommen für cos bzw. sin?
Müsste nicht immer derselbe Winkel [mm] \alpha [/mm] herauskommen?
Und wenn nicht, warum nicht bzw. wie dann?
z = a + b*i --- Formel 0
1. z= 1 + 2i
r = |z| = [mm] \wurzel{a^2 +b^2} [/mm] --- Formel 1
|z| = [mm] \wurzel{5} [/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{a}{|z|} [/mm] --- Formel 2
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{b}{|z|} [/mm] --- Formel 3
z = r*(cos [mm] \alpha [/mm] + i*sin [mm] \alpha) [/mm] --- Formel 4
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = 63,43°
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}} [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = 63,43°
2. z = 77i
|z| = 77
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{0}{77} [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = 90°
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{77}{77} [/mm] = 1 => [mm] \alpha [/mm] = 90°
3. z = -5 -12i
|z| = 13
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{-5}{13} [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = 112,62°
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{12}{13} [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = 67,38°
4. -3 -3i
|z| = [mm] \wurzel{18} [/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{-3}{\wurzel{18}} [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = 135°
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{-3}{\wurzel{18}} [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = - 45°
Danke & Gruß
Wolfgang
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Hallo hase-hh,
> Bestimmen Sie die Polarform von z...
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> also |z| sowie cos [mm]\alpha[/mm] u. sin [mm]\alpha.[/mm]
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> 1. z= 1 + 2i
>
> 2. z = 77i
>
> 3. z = -5 -12i
>
> 4. -3 -3i
>
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> Moin,
>
> meine Frage ist, warum bei den Aufgaben z.T. verschiedene
> Winkel herauskommen für cos bzw. sin?
>
> Müsste nicht immer derselbe Winkel [mm]\alpha[/mm] herauskommen?
> Und wenn nicht, warum nicht bzw. wie dann?
>
> z = a + b*i --- Formel 0
>
>
> 1. z= 1 + 2i
>
> r = |z| = [mm]\wurzel{a^2 +b^2}[/mm] --- Formel 1
>
> |z| = [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{a}{|z|}[/mm] --- Formel 2
>
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{b}{|z|}[/mm] --- Formel 3
>
> z = r*(cos [mm]\alpha[/mm] + i*sin [mm]\alpha)[/mm] --- Formel 4
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] => [mm]\alpha[/mm] = 63,43°
>
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm] => [mm]\alpha[/mm] = 63,43°
>
>
> 2. z = 77i
>
> |z| = 77
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{0}{77}[/mm] => [mm]\alpha[/mm] = 90°
>
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{77}{77}[/mm] = 1 => [mm]\alpha[/mm] = 90°
>
>
> 3. z = -5 -12i
>
> |z| = 13
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{-5}{13}[/mm] => [mm]\alpha[/mm] = 112,62°
>
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{12}{13}[/mm] => [mm]\alpha[/mm] = 67,38°
>
Nun, da [mm]\cos\left(\alpha\right) \le 0[/mm] für [mm]90^{\circ} \le \alpha \le 270^{\circ}[/mm]
und [mm]\sin\left(\alpha\right) \ge 0[/mm] für [mm]0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}[/mm],
muß [mm]\alpha[/mm] im Intervall [mm]\left[90^{\circ}, 180^{\circ}\right][/mm] liegen.
Demnach ist hier [mm]\alpha=112,62^{\circ}[/mm] dir richtige Lösung.
>
> 4. -3 -3i
>
> |z| = [mm]\wurzel{18}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{-3}{\wurzel{18}}[/mm] => [mm]\alpha[/mm] = 135°
>
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{-3}{\wurzel{18}}[/mm] => [mm]\alpha[/mm] = - 45°
>
Weder der eine noch der andere Winkel stimmt, denn
da [mm]\cos\left(\alpha\right) \le 0[/mm] für [mm]90^{\circ} \le \alpha \le 270^{\circ}[/mm]
und [mm]\sin\left(\alpha\right) \le 0[/mm] für [mm]180^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ}[/mm],
muß [mm]\alpha[/mm] im Intervall [mm]\left[180^{\circ}, 270^{\circ}\right][/mm] liegen.
>
> Danke & Gruß
> Wolfgang
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 26.04.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
d.h.
1. die Formeln stimmen?
2. die Formel 4 ist nur von einem Winkel [mm] \alpha [/mm] abhängig?
3. die Anwendung von Formel 2 bzw. Formel 3 allein führt nur "zufällig"
zum richtigen Ergebnis. Ich meine damit, dass ich beide Formeln
benutzen muss, und erst dann entscheiden kann (je nach dem in
welchen Quadranten die Lösungen liegen können), welcher Wert der
richtige ist?
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Hallo hase-hh,
> Moin!
>
> d.h.
>
> 1. die Formeln stimmen?
Ja.
>
> 2. die Formel 4 ist nur von einem Winkel [mm]\alpha[/mm] abhängig?
Ja.
>
> 3. die Anwendung von Formel 2 bzw. Formel 3 allein führt
> nur "zufällig"
> zum richtigen Ergebnis. Ich meine damit, dass ich beide
> Formeln
> benutzen muss, und erst dann entscheiden kann (je nach dem
> in
> welchen Quadranten die Lösungen liegen können), welcher
> Wert der
> richtige ist?
Zuerst mal betrachtest Du die Vorzeichen von [mm]\sin\left(\alpha\right)[/mm] und [mm]\cos\left(\alpha\right)[/mm] durch die Formeln 2 und 3.
Daraus ergibt sich das Intervall, in welchem der Winkel [mm]\alpha[/mm] liegt.
Dann kannst Du mit den Formeln 2 bzw. 3 zu Werke gehen.
Gruß
MathePower
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