Polarkoord.funkt.2er veränderl < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 So 31.05.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Defintitions- sowie Wertebereich und erstellen Sie eine Wertetabelle und skizzieren Sie die Höhenlinien der folgenden Funktion:
[mm] f(r;\phi)=r*\sin(2*\phi) [/mm] |
Also für den Defintionsbereich kann ich doch schreiben : "ganze x,y Ebene"
Der Wertebereich müsste ganz [mm] \IR [/mm] sein, denn [mm] sin(2*\phi) [/mm] ergibt Werte [-1;1] und r kann alle Werte [mm] \ge [/mm] 0 sein.Zusammen dürfte das ganz [mm] \IR [/mm] ergeben.
Die Wertetabelle ist ja einfach simples ausrechnen verschiedener Werte und zwar bin ich dabei für [mm] \phi [/mm] zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] mit [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] schritten gegangen und r zwischen 0 und 2,5 in 0,5 schritten. Vielleicht gibt es was sinnvolleres?
Probleme habe ich bei den Höhenlinien. Über Mathematica kriege ich folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
was sich ja folgendermaßen erklären lässt:
[mm] h=r*\sin(2*\phi)
[/mm]
beispiel h=1:
[mm] 1=r*\sin(2*\phi)
[/mm]
Bei [mm] \phi [/mm] = [mm] k*\bruch{\pi}{2} [/mm] sind Defintionslücken bzw Polstellen.
Der Sinusterm ist für kleine [mm] \phi [/mm] klein, also muss das r groß sein um die 1 zu erreichen.
Bis [mm] \phi=\bruch{\pi}{4} [/mm] wird der sinus immer größer bis er sein maximum 1 erreicht. bis dahin sinkt r ja auch auf 1.
für [mm] \bruch{\pi}{4}<\phi<\bruch{\pi}{2} [/mm] hat der sinusterm wieder Werte < 1 also muss r wieder größer werden und so weiter ergibt sich das für die restlichen Quadranten.
Kann man das ganze denn auch irgendwie rechnerisch geschickt ausdrücken? Wenn ich nicht schon vorher das Bild von Mathematica gehabt hätte wäre es mir wahrscheinlich schwerer gefallen das so zu interpretieren...
Danke und Gruß,
tedd ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 So 31.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
mint [mm] sin2\phi=2*cos\phi*sin\phi [/mm] kansst du das leicht ins kartesische uebesetzen und siest die Kurven dann gleich
Gruss leduart dann gleich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 01.06.2009 | | Autor: | tedd |
Hi!
Okay...
Also ...
[mm] f(r;\phi)=r*2*\sin(\phi)*\cos(\phi)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x;y)=\bruch{2*y*x}{\sqrt{x^2+y^2}}
[/mm]
Ich kann hier nicht direkt sehehn wie der Graph aussieht...
Könnte das natürlich noch nach y umstellen:
[mm] \Rightarrow h^2=\bruch{4*x^2*y^2}{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] \gdw h^2*x^2+h^2*y^2=4*x^2*y^2
[/mm]
[mm] \gdw y^2*(h^2-4*x^2)=-h^2*x^2
[/mm]
[mm] \gdw y^2=\bruch{h^2*x^2}{4*x^2-h^2}
[/mm]
[mm] \gdw y=\pm\bruch{h*x}{\sqrt{4*x^2-h^2}}
[/mm]
ist das äquivalent, wenn ich h*x jetzt als [mm] \bruch{1}{\sqrt{h^2*x^2}} [/mm] in den Nenner schreibe?
[mm] y=\pm\bruch{1}{\sqrt{4*\bruch{1}{h^2}-\bruch{1}{x^2}}}
[/mm]
Das gleiche hätte ich natürlich oben machen können
[mm] f(x;y)=\bruch{2*y*x}{\sqrt{x^2+y^2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{\sqrt{\bruch{1}{x^2}*\bruch{1}{y^2}}*\sqrt{x^2+y^2}}=\bruch{2}{\sqrt{\bruch{1}{y^2}+\bruch{1}{x^2}}}
[/mm]
aber ich glaube hier müsste noch ein plusminus vor oder?
denn [mm] x*y=\pm\sqrt{x^2*y^2} [/mm] ?
Also
[mm] f(x;y)=\pm\bruch{2}{\sqrt{\bruch{1}{y^2}+\bruch{1}{x^2}}}
[/mm]
Und da erkenne ich Polstellen bei x=0 und y=0 aber kann bzw müsste ich dadurch auch direkt den Kurvenverlauf der Höhenlinien erkennen?
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mo 01.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst doch die Linien in Abhaengigkeit von h haben.
da nimmst du
Quelltext $ [mm] \gdw y=\pm\bruch{h\cdot{}x}{\sqrt{4\cdot{}x^2-h^2}} [/mm] $
und kannst alles sehen.
polstellen bei [mm] x=\pm [/mm] h
Assymptoten sind y=h
Was willst du noch?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mo 01.06.2009 | | Autor: | tedd |
Stimmt, ist eigentlich klar...
danke und gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Di 02.06.2009 | | Autor: | tedd |
Hm beim nochmaligen drüberschauen ist mir das ganze irgendwie doch nicht mehr so klar....
die Polstellen müssten meiner Meinung nach bei [mm] x=\pm\bruch{h}{2} [/mm] sein (dann wird der Nenner Null) und wie kriege ich jetzt auf einen Blick die Asymptoten ?
Könnte es mit Grenzwerten für [mm] \limes\rightarrow\pm\infty [/mm] versuchen aber das geht auch nicht so schnell...
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Di 02.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mit den Polstellen hast du recht, war mein fehler.
Ass> dividier Z und N durch x und lass x gegen unendlich gehen.
dann siehst du , dass ich den gleiche Fehler auch bei y= gemacht habe.
Gruss leduart
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