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| Aufgabe | ich habe eine trivale frage
ich will 3i in Polarkoordinaten umformen |
[mm] 3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
mein tutor hat als anmerkung geschrieben
[mm] 3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}+2\pi*k} [/mm] dazu hat er als anmerkung noch geschrieben "fürs wurzel ziehen"
ich verstehe das nicht ganz. ich weiß das sich der WInkel nicht ändert, wenn ich es mit [mm] 2\pi*k [/mm] addiere, aber wozu brauch ich das?
ich kann doch auch bei [mm] 3e^{i*\bruch{\pi}{2}} [/mm] die wurzel ziehen? wieso muss ich den exponennten mit [mm] 2\pi*k [/mm] addieren?
was wollte mein tutor mir damit sagen?
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Hallo,
> ich habe eine trivale frage
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> ich will 3i in Polarkoordinaten umformen
> [mm]3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
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> mein tutor hat als anmerkung geschrieben
>
> [mm]3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}+2\pi*k}[/mm] dazu hat er als anmerkung
> noch geschrieben "fürs wurzel ziehen"
>
> ich verstehe das nicht ganz. ich weiß das sich der WInkel
> nicht ändert, wenn ich es mit [mm]2\pi*k[/mm] addiere, aber wozu
> brauch ich das?
Meiner Meinung nach ist die Antwort des Tutors falsch und deine richtig.
Die Polarkoordianten einer Zahl ungleich 0 ist ein Paar $(r, [mm] \varphi)$ [/mm] mit $r [mm] \in \mathbb [/mm] R^+$ und [mm] $\varphi \in [0,2\pi)$ [/mm] (alternativ [mm] $\varphi \in [-\pi [/mm] , [mm] \pi [/mm] [$).). Die Polarkoordinatendarstellung ist dann $r [mm] e^{i \varphi}$ [/mm] und damit eindeutig.
> ich kann doch auch bei [mm]3e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm] die wurzel
> ziehen? wieso muss ich den exponennten mit [mm]2\pi*k[/mm]
> addieren?
Ich sehe nicht, was das mit Wurzelziehen zu tun hat.
> was wollte mein tutor mir damit sagen?
Das solltest du den Tutor wohl selber fragen.
Die Anmerkung beziehen sich auf die Aufgabenstellung wie im Eingangspost wiedergegeben. Je nach exakter Aufgabenstellung können die umstände natürlich anders sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 Sa 19.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ich habe eine trivale frage
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> ich will 3i in Polarkoordinaten umformen
> [mm]3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> mein tutor hat als anmerkung geschrieben
>
> [mm]3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}+2\pi*k}[/mm] dazu hat er als anmerkung
> noch geschrieben "fürs wurzel ziehen"
>
> ich verstehe das nicht ganz. ich weiß das sich der WInkel
> nicht ändert, wenn ich es mit [mm]2\pi*k[/mm] addiere, aber wozu
> brauch ich das?
>
> ich kann doch auch bei [mm]3e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm] die wurzel
> ziehen? wieso muss ich den exponennten mit [mm]2\pi*k[/mm]
> addieren?
>
> was wollte mein tutor mir damit sagen?
Nun, die Darstellung einer komplexen Zahl in Exponentialform ist nicht eindeutig. Meist verwendet man aus Bequemlichkeit die Einschränkung [mm] $\phi\in]-\pi;\;pi]$, [/mm] manchmal auch wie von meinem Vorredner angemerkt [mm] $\phi\in[0;\;pi]$.
[/mm]
Alle Darstellungen erhältst du, wie dein Dozent angemerkt hat (du hast da eine Klammer vergessen) mit
[mm] $3*i=3*e^{i*\left(\frac{\pi}{2}+k*2*\pi\right)}$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$.
[/mm]
Der Winkel/das Argument ändert sich übrigens sehr wohl bei Addition von [mm] 2\pi, [/mm] die zugehörige komplexe Zahl ändert sich aber nicht. Andererseits kann man über die Definition des Begriffs Winkel auch herrlich lang diskutieren ohne zu einem befriedigenden Ergebnis zu kommen 
Ob es nun sinnvoll oder notwendig ist, die vollständige Darstellung zu verwenden hängt davon ab, was du mir der Zahl nun vorhast. Dein Dozent wollte offenbar auf den Satz von Moivre hinaus.
Wenn du die Aufgabe hättest, aus deiner Zahl zB die dritte Wurzel zu ziehen, müsstest du aus dem Betrag (3) die dritte Wurzel ziehen um den Betrag deiner Lösung(en) zu erhalten, das Argument ("den Winkel") aber durch 3 dividieren. Und jetzt macht es einen Unterschied, ob du [mm] $\frac{\pi}{2}+0*2\pi$ [/mm] drittelst, oder [mm] $\frac{\pi}{2}+1*2\pi$ [/mm] oder [mm] $\frac{\pi}{2}+2*2\pi$. [/mm] Es gibt also drei komplexe Zahlen, die zur dritten Potenz genommen 3i ergeben. Für $k=3$ erhältst du dann wieder die gleiche Zahl wie für $k=0$.
Gruß RMix
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das heißt also bei
[mm] x^3= 3e^{i*(\bruch{\pi}{2}+2\pi*k)}
[/mm]
wären alle Lösung folgende:
[mm] x_1=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*0)}
[/mm]
[mm] x_2=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*1)}
[/mm]
[mm] x_3=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*2)}
[/mm]
das wäre so richtig oder?
angenommen ich habe die gleichung
[mm] x^3=1
[/mm]
kann ich die 1 in polarkoordinaten umformen und dann wie oben alle lösungen bestimmen?
[mm] x^3=e^{i(0+2\pi*k)}
[/mm]
[mm] x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*0)}
[/mm]
[mm] x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*1)}
[/mm]
[mm] x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*2)}
[/mm]
kann man das so machen?
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> das heißt also bei
>
> [mm]x^3= 3e^{i*(\bruch{\pi}{2}+2\pi*k)}[/mm]
>
> wären alle Lösung folgende:
>
> [mm]x_1=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*0)}[/mm]
>
> [mm]x_2=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*1)}[/mm]
>
> [mm]x_3=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*2)}[/mm]
>
> das wäre so richtig oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie kommst du denn jeweils auf die [mm] $4\pi$? [/mm] Der Rest passt.
> angenommen ich habe die gleichung
>
> [mm]x^3=1[/mm]
>
> kann ich die 1 in polarkoordinaten umformen und dann wie
> oben alle lösungen bestimmen?
>
> [mm]x^3=e^{i(0+2\pi*k)}[/mm]
Ja, so kannst du das machen.
Die Zahl 1 in Eulerdarstellung lautet einfach:
[mm] $1=e^{i\cdot 0}$
[/mm]
oder die zweite Möglichkeit wäre:
[mm] $1=e^{i\cdot 2\pi}$
[/mm]
Die Zahl $-1$ kannst du übrigens auch auf zwei Arten Darstellen:
[mm] $x^3=e^{i\cdot \pi}$ [/mm] und
[mm] $x^3=e^{-i\cdot \pi}$
[/mm]
> [mm]x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*0)}[/mm]
>
>
> [mm]x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*1)}[/mm]
>
>
> [mm]x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*2)}[/mm]
>
> kann man das so machen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Allerdings solltest du den Lösungen unterschiedliche Namen geben. Nicht immer [mm] $x_1$ [/mm] ;).
Am besten fängst du auch mit [mm] $x_0$ [/mm] an anstatt mit [mm] $x_1$. [/mm] Ich finde das immer schöner. Dann hat man gleich den Bezug zur Zahl, die du eingesetzt hast.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 So 20.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > das heißt also bei
> >
> > [mm]x^3= 3e^{i*(\bruch{\pi}{2}+2\pi*k)}[/mm]
> >
> > wären alle Lösung folgende:
> >
> > [mm]x_1=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*0)}[/mm]
> >
> > [mm]x_2=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*1)}[/mm]
> >
> > [mm]x_3=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*2)}[/mm]
> >
> > das wäre so richtig oder?
>
> Wie kommst du denn jeweils auf die [mm]4\pi[/mm]? Der Rest
> passt.
Nein, genau umgekehrt (siehe meine Antwort). Die [mm] $4*\pi$ [/mm] sind schon OK wenn man [mm] $\frac{\pi}{2}+2*\pi*k$ [/mm] in einen Bruch umformt.
> Die Zahl [mm]-1[/mm] kannst du übrigens auch auf zwei Arten
> Darstellen:
>
> [mm]x^3=e^{i\cdot \pi}[/mm] und
>
> [mm]x^3=e^{-i\cdot \pi}[/mm]
>
Nicht nur auf zwei Arten. Jede komplexe Zahl lässt sich auf unendlich viele Arten in der Exponentialform darstellen - darum geht's bei der Frage hier hier ja gerade. Auch
[mm]-1=e^{-123*\pi}[/mm]
wäre zB möglich und korrekt - über die Sinnhaftigkeit lässt sich natürlich diskutieren.
Gerade die dritte Wurzel aus -1 ist ein nettes Beispiel, weil man hier auf eine scheinbare Diskrepanz bei Verwendung mancher CAS stößt, wenn diese standardmäßig auf [mm] \IC [/mm] operiert.
Das Ergebnis von [mm] $(-1)^\frac{1}{3}$ [/mm] ist dort nicht $-1$ sondern [mm] $\frac{1}{2}+i*\frac{\wurzel{3}}{2}$, [/mm] weil das eben der Hauptwert ist (= jenes Ergbnis mit dem kleinsten Argument).
Gruß RMix
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