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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 So 25.10.2009 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Es sei [mm] w=2*\wurzel{3}-2i.
[/mm]
Berechnen Sie w³ auf dem "normalen" Weg und auch mit Hilfe der Polarkoordinatenform.
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Hi Leute :)
Hab da n kleines Problem, schätze es hängt mit dem Definitionsbereich des arccos zusammen, weiß aber nicht genau.
Habe die Aufgabe auf dem "normalen" Weg (w=a+bi).
Da bekomme ich -64i raus. Soll laut CAS auch richtig sein ;)
Nun ist mein Problem den korrekten Winkel für die Polar-Form zu finden:
[mm] a=2*\wurzel{3}
[/mm]
b=-2
[mm] r=\wurzel{12+4}=4
[/mm]
[mm] r*cos(\phi)=a \Rightarrow 4*cos(\phi)=2*\wurzel{3} \Rightarrow arccos(\bruch{\wurzel{3}}{2})=pi/6
[/mm]
pi/6 ist aber falsch! es muss -pi/6 sein, das kommt auch mit [mm] r*sin(\phi)=-2 [/mm] raus.
Ebenfalls kommt das durch arctan(b/a) raus.
Woher kommt der Unterschied? Übersehe ich etwas?
Bin btw total begeistert von der eulerschen form, ist ja total einfach dann etwas zu multiplizieren etc.
Woher folgt eigentlich [mm] z*w=|z|*|w|(cos(\phi+\psi)+i*sin(\phi+\psi)? [/mm]
Aus den Additionstheoremen oder so? Weil das ist total praktisch und fast einfacher als in R..
Schöne Grüße und Dank im Voraus!
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> Es sei [mm]w=2*\wurzel{3}-2i.[/mm]
>
> Berechnen Sie w³ auf dem "normalen" Weg und auch mit Hilfe
> der Polarkoordinatenform.
>
>
> Hi Leute :)
>
> Hab da n kleines Problem, schätze es hängt mit dem
> Definitionsbereich des arccos zusammen,
eigentlich mit dem Wertebereich !
> weiß aber nicht genau.
>
> Habe die Aufgabe auf dem "normalen" Weg (w=a+bi).
>
> Da bekomme ich -64i raus. Soll laut CAS auch richtig sein ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun ist mein Problem den korrekten Winkel für die
> Polar-Form zu finden:
>
> [mm]a=2*\wurzel{3}[/mm]
> b=-2
>
> [mm]r=\wurzel{12+4}=4[/mm]
> [mm]r*cos(\phi)=a \Rightarrow 4*cos(\phi)=2*\wurzel{3} \Rightarrow arccos(\bruch{\wurzel{3}}{2})=pi/6[/mm]
>
> pi/6 ist aber falsch! es muss -pi/6 sein, das kommt auch
> mit [mm]r*sin(\phi)=-2[/mm] raus.
> Ebenfalls kommt das durch arctan(b/a) raus.
>
> Woher kommt der Unterschied? Übersehe ich etwas?
> Bin btw total begeistert von der eulerschen form, ist ja
> total einfach dann etwas zu multiplizieren etc.
Das (kleine) Problem ist, dass die arccos-Funktion
immer einen Winkel zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] liefert, also
nie einen negativen Winkel oder z.B. den Winkel
[mm] \frac{11}{6}\pi, [/mm] der im vorliegenden Beispiel auch
passen würde. Um stets den richtigen Winkel zu
nehmen, orientiert man sich z.B. mittels einer
Skizze darüber, in welchem Quadranten die Zahl
z=a+ib liegt. Eine rein rechnerische Methode zur
korrekten Berechnung des Winkels liefert die
arctan2-Funktion: ![[]](/images/popup.gif) ATAN2
> Woher folgt eigentlich
> [mm]z*w=|z|*|w|(cos(\phi+\psi)+i*sin(\phi+\psi)?[/mm]
> Aus den Additionstheoremen oder so?
Man kann es z.B. aus den Additionstheoremen herleiten.
Versuch's doch mal !
> Weil das ist total praktisch und fast einfacher als in R..
Schön, dass du die Perlen auch wirklich siehst und
schätzen kannst, die in der Mathematik zu finden sind !
>
> Schöne Grüße und Dank im Voraus!
Schönen Abend !
Al-Chw.
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