Polarkoordinaten < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=polar6c11a.jpg |
In meinen Skript steht, dass für [mm] z=1+\wurzel{3}i [/mm] die Polarkoordinatendarstellung durch [mm] 2e^{i*\pi/3} [/mm] gegeben ist. Wie kommt man darauf? Wenn ich das habe, weiß ich doch schonmal den Winkel für die Darstellung oder? Das wäre ja [mm] \pi/3, [/mm] könnte ich damit das ganze schon direkt in der Polarkoordinatendarstellung zeichnen?
Habe mich jetzt schon durch mehrere Bücher geschlagen, aber so ganz verstanden habe ich es doch noch nicht.
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Hallo!
Eine komplexe Zahl z ist im Allgemeinen in drei verschiedenen Varianten darstellbar:
(1) z=x+jy (kartesische Darstellung)
(2) [mm] z=|z|(cos(\varphi)+j{sin(\varphi)}) [/mm] (polare Darstellung)
(3) [mm] z=|z|e^{j\varphi} [/mm] (Eulersche Darstellung).
Für eine Transformation von Darstellung (1) zu Darstellung (3) sind also aus (1) zu berechnen:
1.) Der Betrag [mm] |z|=\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] sowie
2.) Das Argument [mm] \varphi=arctan{\bruch{y}{x}}, [/mm] mit x,y>0
Beachte, dass die Berechnung des Arguments wie unter 2.) dargestellt nur für x,y>0 gültig ist. Speziell in deinem Fall hat man nun [mm] z=1+j\wurzel{3}. [/mm] Magst du nun mal versuchen, diese Zahl in die Eulersche Darstellung zu transformieren?
Viele Grüße, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ah, verstehe, also [mm] |z|=\wurzel{1^2+\wurzel{3}^2}=2 [/mm] und das Argument wäre [mm] arctan(\wurzel{3}/2).
[/mm]
Jetzt gilt sicherlich noch ein Zusammenhang zwischen arctan und und cos. Wir haben ja etwas stehe und zwar zu der Aufgabe:
[mm] cos(\pi/3)=Re(z)/|z|
[/mm]
Ich drücke somit kommt sicherlich die [mm] \oi/3 [/mm] zustande, mich würde dennoch der Zusammenhang zwischen arctan und cos interessieren. Und wie genau bekomme ich daraus die Polarkoordinatendarstellung?
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Hallo!
Stelle mal Deine komplexe Zahl graphisch in der Gauß'schen Zahlenebene da (Abszissenachse = Re, Ordinatenachse = Im).
Du solltest ein rechtwinkliges Dreieck erkennen können, nachdem Du das Lot zur $x$-Achse gefällt hast.
Denk' jetzt über die trig. Funktionen in rechtwinkligen Dreiecken nach!
[mm] $\cos(\phi) [/mm] = [mm] \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
[/mm]
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, kann ich mir vorstellen, der Betrag ist ja die Hypo. und der Realteil ist die Ankath., ist das nun aber wirklich die Polarkoordinatendarstellung? Weil dafür hätte ich den Winkel doch nicht mal ausrechnen müssen, habe doch den Punkt sowieso gegeben durch z oder sehe ich das falsch?
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Es ist eigentlich ganz einfach. Mit [mm] z=1+j\wurzel{3} [/mm] gilt für das Argument
[mm] \varphi=arctan\vektor{\bruch{\wurzel{3}}{1}}=60^{\circ}=\bruch{\pi}{3}.
[/mm]
Zusammen mit |z|=2 ergeben sich also ausgehend von der kartesischen Darstellung ...
1.) ... die polare Darstellung: [mm] z=2*(cos(\bruch{\pi}{3})+j{sin(\bruch{\pi}{3})}) [/mm] und
2.) ... die Eulersche Darstellung: [mm] z=2*e^{j{\bruch{\pi}{3}}}
[/mm]
Anmerkung: Für eine Transformation von der kartesischen Darstellung in die polare Darstellung werden im Einzelnen die Beziehungen
(2) [mm] x=r*cos(\varphi) [/mm] und
(3) [mm] y=r*sin(\varphi)
[/mm]
verwendet. Für die Berechnung des Argumentes kann man nun den Quotienten aus (3) und (2) bilden. Man erhält dann
(4) [mm] \bruch{y}{x}=\bruch{r*sin(\varphi)}{r*cos(\varphi)}=tan(\varphi).
[/mm]
Diese Winkelberechnung ist, wie schon im vorherigen Post erwähnt, nur für x,y>0 gültig. Aus 1.) und 2.) ergibt sich außerdem die oftmals auftauchende Eulersche Formel
[mm] e^{j\varphi}=cos(\varphi)+jsin(\varphi)
[/mm]
Viele Grüße, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, das ist alles logisch, verstehe ich auch soweit, aber was genau um auf den Punkt zu kommen ist die Polarkoordinatendarstellung? Ist das, die von dir erklärte polare Darstellung? Ich kann mir einfach nicht denken, was ich genau machen soll, wenn ich die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl zeigen soll. Heißt das, dass ich einfach den Winkel bzw. die Winkel berechne? Hab ich damit das ganze gelöst? Ich hänge eigentlich nur etwas an der Begrifflichkeit.
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Hallo!
Zu dem Winkel benötigst du noch den Betrag. Die karthesische Darstellung benutzt die xy-Koordinate in der Ebene, die polardarstellung die Entfernung vom Ursprung und den Winkel zur positiven x-Achse.
Formal gibt man dann normalerweise die eulersche Darstellung an, weil die schön kompakt ist. Die andere mit sin und cos ist unhandlich, und benutzt man eher, wenn man was berechnen will.
Also: die gebräuchliche polare Darstellung ist
[mm] $z=R*e^{j\phi}\quad R,\phi\in\IR$
[/mm]
Die ist aber gleichbedeutend mit
[mm] $z=e^{R+j\phi}$
[/mm]
und
[mm] $z=R\cos(\phi)+jR\sin(\phi)$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sowohl die Eulersche Darstellung als auch die polare werden als Polarkoordinatedarstellung bezeichnet. Was isr in denem Skript vereinbart?
wegen [mm] e^{i\phi}=cis\ohi+isin\phi [/mm] ist es auch fast dasselbe,
Also ja, du musst winkel und Betrag ausrechnen und dann [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] hinschreiben,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, verstanden, danke euch!
Jetzt noch zum zweiten Teil, die Geschichte mit [mm] z^5=1
[/mm]
Ich hab mir erstmal überlegt, dass z ja so aussieht:
[mm] (a+bi)^5=1
[/mm]
Das Problem hierbei ist natürlich, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, damit das ganze gleich 1 ist.
Ausgerechnet wäre es ja:
[mm] a^5+5a^4bi-10a^3b^2-10a^2b^3i+5ab^4-b^5i=1
[/mm]
Gibt es eine "clevere" Möglichkeit alle Lösungen zu finden? Ausprobieren kann es ja irgendwie nicht sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo
genau dazu benutzt man die Eulerformel, denn aus e^{i\phi)=e^{i\phi+n*2˜pi) kannst du sicher jede wurzel ziehen. du bekommst 5 verschieden Lösungen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Hm, ok, aber wie genau sieht das bei mir aus?
[mm] |z^5|e^{b*arctan(b/a)}=1
[/mm]
Inwiefern bringt mich das weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib 1 erst mal als Eulerdarstellung! den Winkel siehst du doch sofort, den Betrag auch. dann zieh die Wurzel , wie machst du das?
am Ende verwandelst du die 5 eulerdarstellungen wieder in [mm] z_i=a_1+ib_i.
[/mm]
wss dein $ [mm] |z^5|e^{b\cdot{}arctan(b/a)}=1 [/mm] $ sagen soll weiss ich nicht. du hast z=1+i*0 welchen winkel zur x- achse hast du? was hat das b im Exponenten zu suchen? es muss da stehen [mm] Z=1*e^{i\phi+n*2\pi} [/mm] n=0,1,2,.. was ist [mm] \phi? [/mm] kannst du wenigstens eine 5 te Wurzel von [mm] e^a [/mm] hinschreiben?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Achso, sorry, du meinst natürlich [mm] 1=e^{2\pi i}
[/mm]
Ich verstehe nicht ganz, wieso 5. Wurzel ziehen, hier müsste ich doch ansich hoch 5 rechnen oder sehe ich das falsch?
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> Achso, sorry, du meinst natürlich [mm]1=e^{2\pi i}[/mm]
>
> Ich verstehe nicht ganz, wieso 5. Wurzel ziehen, hier
> müsste ich doch ansich hoch 5 rechnen oder sehe ich das
> falsch?
du hattest doch [mm] z^5=1 [/mm] und suchst doch das z.
also wurzelziehen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Bin ja völlig bescheuert, natürlich.
[mm] z^5=e^{2\pi i} [/mm] <=> [mm] z=e^{2/5 \pi i} [/mm] <=> [mm] a+ib=e^{2/5 \pi i}
[/mm]
Und nun bestimme ich davon die Lösungen, korrekt?
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Hallo hubbel,
> Bin ja völlig bescheuert, natürlich.
>
> [mm]z^5=e^{2\pi i}[/mm] <=> [mm]z=e^{2/5 \pi i}[/mm] <=> [mm]a+ib=e^{2/5 \pi i}[/mm]
>
> Und nun bestimme ich davon die Lösungen, korrekt?
Bedenke, daß gilt:
[mm]e^{i * 2\pi}=e^{i* \left(2\pi+2k\pi\right)}[/mm]
Daraus ergeben sich dann die Lösungen für k=0,1,2,3,4.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 15.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Wie genau kommt dieses k zustande und warum nochmal [mm] 2\pi? [/mm] Und was ist mit der Wurzel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 So 15.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Im Komplexen ist die Exp-funktion $2 [mm] \pi [/mm] i$ - periodisch, also
[mm] e^z= e^{z+ 2 \pi i}.
[/mm]
Damit auch
[mm] e^z= e^{z+ 2k \pi i} [/mm] für jedes k [mm] \in \IZ.
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:30 So 15.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Das sehe ich ein, aber dieses k suche ich doch gar nicht oder sehe ich das falsch? Ich steh gerade auf dem Schlauch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 17.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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