Polarkoordinaten für R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Di 13.07.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo,
in der Analysis mehrerer Veränderlicher stößt man manchmal auf das Problem, "doppelte Grenzwerte" berechnen zu müssen (oder zu wollen).
Ich habe hier im Forum schon öfter den Tipp mit Polarkoordinaten gelesen.
Nehmen wir mal an, man wolle diesen Grenzwert berechnen:
[mm] $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$ [/mm]
in Polarkoordinaten sieht das dann so aus:
[mm] $\lim\limits _{r\to0}\frac{r^{4}\cos^{2}\varphi\sin^{2}\varphi}{r^{2}\cos^{2}\varphi-r^{2}\sin^{2}\varphi}=\lim\limits _{r\to0}\frac{r^{2}\cos^{2}\varphi\sin^{2}\varphi}{\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi}=0$
[/mm]
Jetzt meine Frage: Der Nenner kann ja hier auch =0 werden (z.B. für [mm] $\varphi=\frac{\pi}{4}$) [/mm] und die Division durch Null ist ja bekanntlich streng verboten. Wieso ist das trotzdem richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Di 13.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> in der Analysis mehrerer Veränderlicher stößt man
> manchmal auf das Problem, "doppelte Grenzwerte" berechnen
> zu müssen (oder zu wollen).
> Ich habe hier im Forum schon öfter den Tipp mit
> Polarkoordinaten gelesen.
> Nehmen wir mal an, man wolle diesen Grenzwert berechnen:
> [mm]\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}-y^{2}}[/mm]
> in Polarkoordinaten sieht das dann so aus:
> [mm]\lim\limits _{r\to0}\frac{r^{4}\cos^{2}\varphi\sin^{2}\varphi}{r^{2}\cos^{2}\varphi-r^{2}\sin^{2}\varphi}=\lim\limits _{r\to0}\frac{r^{2}\cos^{2}\varphi\sin^{2}\varphi}{\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi}=0[/mm]
>
> Jetzt meine Frage: Der Nenner kann ja hier auch =0 werden
> (z.B. für [mm]\varphi=\frac{\pi}{4}[/mm]) und die Division durch
> Null ist ja bekanntlich streng verboten. Wieso ist das
> trotzdem richtig?
diese Fälle sind ja schon von vorneherein ausgeschlossen. Es ist doch [mm] $x=r*\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $y=r*\sin(\varphi)\,,$ [/mm] und für [mm] $\varphi=\pi/4$ [/mm] wäre doch (wegen [mm] $\cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)$) [/mm] dann [mm] $x^2=y^2\,.$ [/mm] Das ist aber schon in dieser Darstellung:
[mm] $$\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$$
[/mm]
nicht erlaubt.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Di 13.07.2010 | | Autor: | notinX |
Danke für die schnelle Antwort.
Hab ich mir schon gedacht, dass das mit meinem Beispiel nicht klappt.
Ich hatte aber letztens eine Aufgabe, bei der (aus meiner Sicht zumindest) nichts dagegen sprach, dass der Nenner Null wird. Wenn ich es wieder finde werde ich es hier rein stellen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Di 13.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort.
> Hab ich mir schon gedacht, dass das mit meinem Beispiel
> nicht klappt.
> Ich hatte aber letztens eine Aufgabe, bei der (aus meiner
> Sicht zumindest) nichts dagegen sprach, dass der Nenner
> Null wird. Wenn ich es wieder finde werde ich es hier rein
> stellen.
es kann auch an einer "Fortsetzbarkeitsargumentation" liegen:
Z.B. kann man [mm] $\lim_{x \to 0}\sin(x)/x=1$ [/mm] berechnen, und dann kann man [mm] $f(x)=\sin(x)/x$ [/mm] stetig an [mm] $0\,$ [/mm] durch [mm] $f(0)=1\,$ [/mm] fortsetzen.
Ein trivialeres Beispiel ist sicher
$$g: [mm] \IR\setminus \{1\} \to \IR,\;\;\;g(x):=\frac{x^2-1}{x-1}\,.$$
[/mm]
Diese Funktion ist, wenn man $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $h(x):=x+1$ betrachtet, dann identisch mit [mm] $h_{|\IR \setminus \{1\}}\,,$ [/mm] so dass man die Ausgangsfunktion quasi fast automatisch mit [mm] $h\,$ [/mm] identiziert (obwohl das ja eigentlich zwei, wenn auch nicht sehr, verschiedene Funktionen sind). Die Funktion [mm] $h\,$ [/mm] ist aber an [mm] $x=1\,$ [/mm] definiert, dort stetig und differenzierbar [mm] ($h\,$ [/mm] ist eh stetig und diff'bar, sogar stetig diff'bar), aber [mm] $x=1\,$ [/mm] liegt nicht im Definitionsbereich von [mm] $g\,,$ [/mm] so dass es keinen Sinn macht, von Stetigkeit etc. an dieser Stelle bzgl. [mm] $g\,$ [/mm] zu sprechen (die Frage nach der diff'baren oder stetigen Fortsetzbarkeit macht aber sehr wohl Sinn).
Ansonsten müssen wir mal Dein Beispiel abwarten, wie es da nun konkret ausschaut. Ich vermute aber fast, dass es auf solche "Fortsetzbarkeitsargumente" hinausläuft.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 20.07.2010 | | Autor: | notinX |
> Ansonsten müssen wir mal Dein Beispiel abwarten, wie es da
> nun konkret ausschaut. Ich vermute aber fast, dass es auf
> solche "Fortsetzbarkeitsargumente" hinausläuft.
>
> Beste Grüße,
> Marcel
Ich glaube, ich habe eins gefunden (ich bin mir allerdings nicht sicher, ob hier "Fortsetzbarkeitsargumente" ausgeschlossen sind):
Wenn ich zeigen möchte, dass
[mm] $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim\limits _{(x,y)\to(0,0)}\frac{y\sin(xy)}{x^{2}+y^{4}}=0$
[/mm]
Transformation liefert:
[mm] $\lim\limits _{r\to0}\frac{r\sin\phi\cdot\sin(r^{2}\sin\phi\cos\phi)}{r^{2}\cos^{2}\phi+r^{4}\sin^{4}\phi}=\lim\limits _{r\to0}\frac{\sin\phi\cdot\sin(r^{2}\sin\phi\cos\phi)}{r\cos^{2}\phi+r^{3}\sin^{4}\phi}$
[/mm]
jetzt L'Hospital:
[mm] $\lim\limits _{r\to0}\frac{2r\sin\phi\cdot\cos(r^{2}\sin\phi\cos\phi)}{\cos^{2}\phi+3r^{2}\sin^{4}\phi}$
[/mm]
so für [mm] $\cos\phi\neq0$ [/mm] ist ja alles klar, geht wunderbar gegen 0. Was ist aber für [mm] $\cos\phi=0$?
[/mm]
Da ist mir gleich noch eine Frage gekommen:
Ich muss ja bei der Transformation die Koordinaten $r$ und [mm] $\phi$ [/mm] definieren. Bei der Definition:
[mm] $\phi [/mm] = [mm] \begin{cases}
+\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y\geq 0\\
-\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y<0
\end{cases}$
[/mm]
bekomme ich doch auch Probleme wenn [mm] $r\to0$ [/mm] geht oder kann ich hier argumentieren, dass auch für [mm] $r\to0$ [/mm] immer $r>0$ gilt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Di 20.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ansonsten müssen wir mal Dein Beispiel abwarten, wie es da
> > nun konkret ausschaut. Ich vermute aber fast, dass es auf
> > solche "Fortsetzbarkeitsargumente" hinausläuft.
> >
> > Beste Grüße,
> > Marcel
>
> Ich glaube, ich habe eins gefunden (ich bin mir allerdings
> nicht sicher, ob hier "Fortsetzbarkeitsargumente"
> ausgeschlossen sind):
> Wenn ich zeigen möchte, dass
> [mm]\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim\limits _{(x,y)\to(0,0)}\frac{y\sin(xy)}{x^{2}+y^{4}}=0[/mm]
>
> Transformation liefert:
> [mm]\lim\limits _{r\to0}\frac{r\sin\phi\cdot\sin(r^{2}\sin\phi\cos\phi)}{r^{2}\cos^{2}\phi+r^{4}\sin^{4}\phi}=\lim\limits _{r\to0}\frac{\sin\phi\cdot\sin(r^{2}\sin\phi\cos\phi)}{r\cos^{2}\phi+r^{3}\sin^{4}\phi}[/mm]
>
> jetzt L'Hospital:
> [mm]\lim\limits _{r\to0}\frac{2r\sin\phi\cdot\cos(r^{2}\sin\phi\cos\phi)}{\cos^{2}\phi+3r^{2}\sin^{4}\phi}[/mm]
>
> so für [mm]\cos\phi\neq0[/mm] ist ja alles klar, geht wunderbar
> gegen 0. Was ist aber für [mm]\cos\phi=0[/mm]?
ich erkenne gerade nicht das Problem. Für [mm] $\cos(\phi)=0$ [/mm] muss [mm] $\phi=\frac{\pi}{2}+k*\pi$ [/mm] (mit einem $k [mm] \in \IZ$) [/mm] sein, und dann ist [mm] $|\sin(\phi)|=1\,.$
[/mm]
Ich kann Dir aber sagen:
1.) Bei
[mm] $$\frac{y\sin(xy)}{x^2+y^4}$$
[/mm]
erkennt man wegen [mm] $\sin(t) \ge \frac{2}{\pi}*t$ [/mm] ($0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \frac{\pi}{2}$), [/mm] dass
[mm] $$\left|\frac{y\sin(xy)}{x^2+y^4}\right| \ge \frac{2}{\pi}*\frac{|xy^2|}{x^2+y^4}\,,$$
[/mm]
jedenfalls für (betraglich) genügend kleine [mm] $x,y\,.$ [/mm] (Z.B. wenn [mm] $x,y\,$ [/mm] betraglich so klein sind, dass [mm] $(0\le\;\;)|xy|=|x|*|y| \le \frac{\pi}{2}\,.$ [/mm] Das wird aber bei $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ (also $x [mm] \to [/mm] 0$ und $y [mm] \to [/mm] 0$) irgendwann immer so sein.)
Setzt Du nun [mm] $x=x_n=\frac{1}{n^2}$ [/mm] und [mm] $y=y_n=\frac{1}{n}\,,$ [/mm] so gilt zwar [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0),$ aber
[mm] $$\frac{2}{\pi}*\frac{|xy^2|}{x^2+y^4}=\frac{2}{\pi}*\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\frac{2}{\pi}*\frac{1}{2}=\frac{1}{\pi}\,,$$
[/mm]
und damit kann wegen
[mm] $$\left|\frac{y\sin(xy)}{x^2+y^4}\right| \ge \frac{2}{\pi}*\frac{|xy^2|}{x^2+y^4} \ge \frac{1}{\pi}$$
[/mm]
(beachte: es war [mm] $x=1/n^2$ [/mm] und [mm] $y=1/n\,$)
[/mm]
nur noch
[mm] $$\frac{y\sin(xy)}{x^2+y^4} \;\;\blue{\not\to}\;\; 0\;\;((x,y) \to [/mm] (0,0))$$
gelten, womit sich Deine Behauptung
[mm] $$\lim\limits _{(x,y)\to(0,0)}\frac{y\sin(xy)}{x^{2}+y^{4}}=0$$
[/mm]
als falsch erwiesen hat. Vll. ist damit auch die Unklarheit geklärt?
> Da ist mir gleich noch eine Frage gekommen:
> Ich muss ja bei der Transformation die Koordinaten [mm]r[/mm] und
> [mm]\phi[/mm] definieren. Bei der Definition:
> [mm]$\phi[/mm] = [mm]\begin{cases}
+\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y\geq 0\\
-\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y<0
\end{cases}$[/mm]
>
> bekomme ich doch auch Probleme wenn [mm]r\to0[/mm] geht oder kann
> ich hier argumentieren, dass auch für [mm]r\to0[/mm] immer [mm]r>0[/mm]
> gilt?
Naja, bei der Transformation
[mm] $$x=r*\cos(\phi),\;\;y=r*\sin(\phi)$$
[/mm]
hat man ja stets $r > [mm] 0\,.$ [/mm] Also ist
[mm] $$\lim_{r \to 0}$$
[/mm]
hier eigentlich stets als
[mm] $$\lim_{r \to 0^+}=\lim_{\substack{r \to 0\\r > 0}}$$
[/mm]
gemeint. In der Tat ist da immer $r > [mm] 0\,,$ [/mm] auch wenn es nicht mehr explizit erwähnt wird.
(Genauso vereinbart man oft, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier in Definition 10.4 die [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$-Schreibweise, [/mm] um das meist eher "nervige" $x [mm] \in [/mm] M$ (da es eh aus dem Kontext bzw. aus der Angabe von [mm] $f\,$ [/mm] klar ist) nicht immer bei der Limes-Schreibweise mitschleppen zu müssen.)
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
