Polarkoordinaten umwandeln? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mi 13.01.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Masse und Schwerpunktskoordinaten [mm] x_s [/mm] und [mm] y_s [/mm] (nicht [mm] z_s!) [/mm] des Körpers
$K = [mm] \{ f(x; y; z) : |x| \le 1, |y| \le \wurzel{1-x^2} , 0 \le z \le \wurzel{1-(x^{2}+y^2} \}$
[/mm]
und Dichte [mm] $\rho [/mm] (x, y) = 3 + x + y$.
Hinweis: $K$ ist eine Halbkugel, die „Höhe“ über der Grundfläche ist durch $f(x, [mm] y)=\wurzel{1-(x^{2}+y^2}$ [/mm] gegeben. Da die Dichte nicht symmetrisch ist, klappt eine einfache Symmetrieüberlegung zur Lage des Schwerpunkts natürlich nicht. |
Meine Frage ist, ob es vielleicht einfacher ist die kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umzuwandeln, weil eine Integration in Polarkoordinaten ggf. sehr viel kürzer ist als in kartesischen Koordinaten. Falls ja, wie wandel ich das so um, dass es später auch passt?
Und mir ist noch nicht ganz klar über welche Funktion man integriert? Ich hätte jetzt die Dichtefunktion genommen. Aber es wird ja auch extra auf die Höhe hingewiesen, die ja auch eine Funktion ist. Oder integriert man erst die Dichte mit einem Doppelintegral (die Dichte hängt ja auch nur von 2 Variablen ab?!) und multipliziert anschliessend das Ergebnis mit f(x,y) der Höhe? Also quasi Grundfläche mal Höhe.
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Hallo!
> Meine Frage ist, ob es vielleicht einfacher ist die
> kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umzuwandeln,
> weil eine Integration in Polarkoordinaten ggf. sehr viel
> kürzer ist als in kartesischen Koordinaten. Falls ja, wie
> wandel ich das so um, dass es später auch passt?
Klar! Es gilt
[mm] x=r\cos\phi
[/mm]
[mm] y=r\sin\phi
[/mm]
z=z
Denk an das zusätzliche r beim integrieren.
>
> Und mir ist noch nicht ganz klar über welche Funktion man
> integriert? Ich hätte jetzt die Dichtefunktion genommen.
Das ist korrekt.
> Aber es wird ja auch extra auf die Höhe hingewiesen, die
> ja auch eine Funktion ist. Oder integriert man erst die
> Dichte mit einem Doppelintegral (die Dichte hängt ja auch
> nur von 2 Variablen ab?!) und multipliziert anschliessend
> das Ergebnis mit f(x,y) der Höhe? Also quasi Grundfläche
> mal Höhe.
Das wird schwierig, denn dann hättest du am Ende immernoch ein x und y im Ergebnis. Die Höhenfunktion ist doch die obere Grenze beim Integrieren über z, die untere wäre 0.
Du solltest erst über z integrieren, es bleiben dann noch r und [mm] \phi [/mm] .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 13.01.2010 | | Autor: | steem |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke für die Antwort!
Was mir Schwierigkeiten bereitet ist, dass ich nicht weiß was man bei der Umwandlung wie ersetzen muss.
Ich hätte dann ja einen ganz anderen Definitionsbereich. z.B.
$ B = \{ f(r\cos\phi ; r\sin\phi ; z) :$ was hier hin kommt ist mir nicht klar
Wird dann $|x| \le 1$ zu $ |r\cos\phi| \le 1 $ und $\wurzel{1-x^2} $ zu $\wurzel{1-(r\cos\phi)^2} $?
z würde ja unverändert bleiben, weil die Idee ja ist die Polarkoordinaten einfach um z Koordinate (sozusagen in kartesischer Form) zu erweitern.
D.h. auch in Polarkoordinaten wäre z immer noch kartesisch. Oder sehe ich das falsch?
Normalerweise sieht das ja so aus, wenn in einer Aufgabe von Anfang an in Polarkoordinaten gegeben sind:
$ K = \{ f(r\cos\phi ; r\sin\phi) : \phi \in [0,2\pi], 0 \le r \le 2+sin\phi \} $
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Hallo!
Es fordert in der Tat oft auch etwas Übung, um zu wissen, wie die Parametrisierung aussieht.
Aber hier ist glücklicherweise ja auch angegeben, was für ein Volumen das ist, das macht es einfacher.
Die gegebenen Bereiche von x und y definieren einen Kreis, in Polarkoordinaten geht das hier durch [mm] $0\le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1$ und [mm] $0\le \phi \le 2\pi$ [/mm] .
Das z bleibt wie es ist, in seine obere Grenze setzt du dann eben [mm] \sqrt{1-r^2} [/mm] ein, das beschreibt dir ja auch die Höhe einer Halbkugel in Polarkoordinaten.
Und wie gesagt, denk dran, [mm] aus\int\int\int\,dxdydz [/mm] wird [mm] $\int\int\int\,\red{r}\,drd\phi [/mm] dz$
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:38 Do 14.01.2010 | | Autor: | steem |
Hallo Event!
Ich habe glücklicherweise nach stundenlangem nachdenken und lesen in Mathebüchern die gleichen Grenzen wie du raus ;) Wobei ich jetzt nicht mehr genau sagen könnte wie ich das geschafft hab...
Aber ein Ergebnis, was mich etwas wundert. Nämlich für die Masse die Formel [mm] m=2*\pi [/mm] x
und als Schwerpunkte [mm] x_s=y_s=1/15 [/mm]
Ist das plausibel, oder eher nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 16.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 So 17.01.2010 | | Autor: | steem |
Hallo Event Horizon!
Ich bin nochmal die Sache mit dem Umwandeln durchgegangen und dabei ist mir aufgefallen, dass ich in dieser Aufgabe eigentlich nur durch raten und abgucken von ähnlichen Aufgaben rausbekommen habe, wie die Parametrisierung in Polarkoordinaten aussieht. Was mache ich aber, wenn es mal nicht so anschaulich ist, bzw. wenn es keine ähnlichen Beispiele gibt? Gibt es sowas wie eine Formel zum umwandeln von Kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten, oder muss man einfach den Geistesblitz haben und das irgendwie erkennen?
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Hallo!
Es gibt kein Standardverfahren, nachdem du die Umwandlung machen kannst.
Wenn man die Koordinatentransformation nicht vorgeschrieben bekommt, sieht man oft wegen der Grenzen, oder auch an so Sachen wie [mm] x^2+y^2 [/mm] , daß Zylinderkoordinaten vielleicht angebracht sind. Man sollte in deinem Fall wissen, daß [mm] y=\sqrt{1-x^2} [/mm] einen Halbkreis beschreibt, das mit den Betragstrichen macht es auch ein wenig unübersichtlich.
Es ist auf jeden Fall nötig, genau zu wissen, wie die Grenzen aussehen, denn nur dann kann man die neuen Grenzen richtig angeben. Wichtig ist auch, zu wissen, wie die Grenzen voneinander abhängen (was du hier nicht hast), damit man die Integrationsreihenfolge richtig wählen kann.
Ich denke, es ist zunächst ziemlich normal, daß man damit etwas in de Luft hängt und etwas Übung braucht. Du solltest, wenn du Beispiele sieht, da auch mal genau durchexerzieren, wie man z.B. auf die Grenzen kommt.
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