Pole,lücken ;nst asymptoten < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich komme bei folgender aufgabe nicht weiter und habe morgen klausur :(
->Bestimmen sie sämtliche nullstellen, pole, lücken, asymptoten folgender funktionen und skizzieren sie G(f).
[mm] f(x)=\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}
[/mm]
die offiziellenlösungen sind:
Nullstellen: x=0; Pol:x=-1; Lücke x=1
Asymptoten: x=-1; y=-1
Ich bin folgendermasen vorgegangen:
Nullstellen:
[mm] x-x^{2}=0
[/mm]
-> x=0; X=1
(also schon mal eine nullstellen mehr als in derlösung)
Pole:
[mm] x^{2}-1=0
[/mm]
-> x=1; x=-1
(also auch ein pol mehr als in der lösung)
Lücken:
1. Loch bei (1/0)
2. Loch bei (-1/-2)
(also auch ein loch zuviel....)
Asyptoen:
vertikale: bei x=1
bei x=-1
horizontale müsste es ja auch geben, oder?
wie berechnet man diese?
schräge gibt esmeiner meinung nach nicht.
danke schon mal für eurer hilfe!
Lg
emilderverzweifelnde
|
|
| |
|
Hallo,
Nullstelle, du untersuchst den Zähler: [mm] x-x^{2}=0, [/mm] du bekommst [mm] x_1=0; x_2=1 [/mm] aber schaue dir für x=1 den Nenner an
Polstellen, du untersuchst [mm] x^{2}-1=0, [/mm] du bekommst [mm] x_1=-1; x_2=1 [/mm] in der Umgebung der Stelle [mm] x_1=-1 [/mm] werden die Funktionswerte beliebig groß sie streben gegen minus bzw. plus unendlich, mache jeweils eine Grenzwertbetrachtung für x gegen -1 von rechts und links, also an der Stelle [mm] x_1=-1 [/mm] liegt eine Polstellle vor, somit auch kein Loch, an der Stelle x=1 ist die Funktion nicht definiert,
Asymptote, x=-1 und y=-1, x=-1 sollte jetzt geklärt sein, y=-1 mache eine Grenzwertbetrachtung für x gegen plus/minus unendlich,
Steffi
|
|
|
| |
|
erst mal danke für deine hilfe;
allerdings habe ich einige fragen:
Nullstelle, du untersuchst den Zähler: du bekommst aber schaue dir für x=1 den Nenner an
-> nullstellen werden doch immer durch den zähler bestimmt!?
allgemein denke ich, dass man die funktion kürzen muss:
[mm] F(x)=\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}
[/mm]
F(x)= [mm] \bruch{x*(1-x)}{(x+1)(x-1)}
[/mm]
F(x)= [mm] \bruch{x}{x-1}
[/mm]
dann klappt das auch alles:
Nst: x=0
Pole: x=-1
Lücke: x=-1 mit F(x)= [mm] \bruch{x*(1-x)}{(x+1)(x-1)}
[/mm]
aber wann muss man kürzen, muss ich für die nst und die pole die gkürzte gleichung nehmen, für die lücken aber nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> erst mal danke für deine hilfe;
> allerdings habe ich einige fragen:
>
> Nullstelle, du untersuchst den Zähler: du bekommst aber
> schaue dir für x=1 den Nenner an
> -> nullstellen werden doch immer durch den zähler
> bestimmt!?
>
> allgemein denke ich, dass man die funktion kürzen muss:
>
> [mm]F(x)=\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}[/mm]
> F(x)= [mm]\bruch{x*(1-x)}{(x+1)(x-1)}[/mm]
> F(x)= [mm]\bruch{x}{x-1}[/mm]
Es muß lauten: F(x)= $- [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] $
>
> dann klappt das auch alles:
> Nst: x=0
> Pole: x=-1
>
> Lücke: x=-1 mit F(x)= [mm]\bruch{x*(1-x)}{(x+1)(x-1)}[/mm]
> aber wann muss man kürzen, muss ich für die nst und die
> pole die gkürzte gleichung nehmen, für die lücken aber
> nicht?
So ist es
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
ok vielen dank!
nun noch zur asymptotenberechnung:
da nehme ich doch wieder die ungekürzte funktion, oder?
also dann: F(x)= [mm] \bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}
[/mm]
1)vertikale asymptoten liegen ja vor, wenn ein pol vorliegt, also muss es eine vertikale asymptote mit dem x-wert-1 geben, oder?
2) eine horizontale asymtote muss ja im prinzip wegen den x hoch 2 im zähler und im nenner auch vorkommen.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}
[/mm]
--> y geht gehn -1
3) schräge asymptoten gibt es nicht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Di 08.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo emilderverzweifelnde
> nun noch zur asymptotenberechnung:
> da nehme ich doch wieder die ungekürzte funktion, oder?
> also dann: F(x)= [mm]\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}[/mm]
Die ungekürzte fkt musst du NUR bei x=1 stehen lassen, für ALLE anderen x ist ja das kürzen erlaubt, und deshalb die gekürzte fkt gleich der fkt.
> 1)vertikale asymptoten liegen ja vor, wenn ein pol
> vorliegt, also muss es eine vertikale asymptote mit dem
> x-wert-1 geben, oder?
richtig aber Angela hat dir doch schon geschrieben, dass man die Art des pols bzw.der Assymptote eigentlich angeben muss.
> 2) eine horizontale asymtote muss ja im prinzip wegen den x
> hoch 2 im zähler und im nenner auch vorkommen.
schlecht ausgedrückt, aber nicht falsch, du musst ZEIGEN was für x gegen [mm] +\infty [/mm] und für x gegen [mm] -\infty [/mm] passiert.
und du hast doch die gekürzte fkt ohne [mm] x^2!
[/mm]
auch da hat dir angela schon den richtigen Weg gezeigt.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}[/mm]
> --> y geht gehn -1
nicht falsch, es fehlt x gegen [mm] -\infty [/mm]
>
> 3) schräge asymptoten gibt es nicht
das ist richtig, aber wenns ne waagerechte As für x gegen [mm] \infty [/mm] gibt ist das sebstverständlich.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> ->Bestimmen sie sämtliche nullstellen, pole, lücken,
> asymptoten folgender funktionen und skizzieren sie G(f).
>
> [mm]f(x)=\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}[/mm]
>
> die offiziellenlösungen sind:
> Nullstellen: x=0; Pol:x=-1; Lücke x=1
> Asymptoten: x=-1; y=-1
>
> Ich bin folgendermasen vorgegangen:
Hallo,
das Allerallererste, was bei Funktionsuntersuchungen zu tun ist, ist, daß Du den Definitionsbereich der Funktion bestimmst.
Du stellst fest: [mm] D_f=\IR [/mm] \ [mm] \{1,-1\}.
[/mm]
> Nullstellen:
> [mm]x-x^{2}=0[/mm]
> -> x=0; X=1
> (also schon mal eine nullstellen mehr als in derlösung)
Weil die Stelle x=1 überhaupt nicht im Definitionsbereich liegt, kann die Funktion hier keine Nullstelle haben, auch wenn die Betrachtung des Zählers dies rein rechnerisch liefert.
Noch zum Thema Pole und Lücken:
Du hast $ [mm] f(x)=\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1} [/mm] $ mit [mm] D_f=\IR [/mm] \ [mm] \{-1, 1\}
[/mm]
Nun ist
[mm] \bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}=\bruch{x(1-x)}{(x-1)*(x+1)}=\bruch{-x(x-1)}{(x-1)*(x+1)}=\bruch{-x}{(x+1)} [/mm] an den von x=1 verschiedenen Stellen.
Diese Erkenntnis erleichtert Dir die Untersuchung der Funktion etwas. Die Funktion ist und bleibt undefiniert für [mm] x=\pm [/mm] 1, aber die Untersuchung auf "Pol oder Lücke" wird so recht einfach.
Zu untersuchen sind hierfur ja die Grenzwerte an den Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist, also [mm] x=\pm [/mm] 1.
x=1:
[mm] \lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}=\lim_{x\to 1}\bruch{-x}{(x+1)}= [/mm] ???
Hier bekommst Du eine schöne Zahl heraus, es handelt sich bei der Stelle x=1 also um eine hebbare Definitionslücke.
(Anschaulich: durch Einflicken des passenden Funktionswertes könntest Du die durchlöcherte Funktion an dieser Stelle stopfen.)
x=-1
[mm] \lim_{x\to -1}f(x)=\lim_{x\to -1}\bruch{x-x^{2}}{x^{2}-1}=\lim_{x\to -1}\bruch{-x}{(x+1)}= [/mm] ???
Oh Grausen! Wenn Du Dich der Stelle x=-1 von oben näherst, dann werden die Funktionswerte sehr groß, streben also gegen [mm] \infty,
[/mm]
kommst Du von unten, so laufen sie gegen [mm] -\infty. [/mm] Du hast hier also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel - falls Ihr die Typen von Nullstellen unterscheidet.
Auf jeden Fall hat man bei x=-1 eine senkrechte Asymptote.
Zu den horizontalen und schrägen Tangenten:
es ist (-x): (x+1)= -1+ [mm] \bruch{1}{1+x}.
[/mm]
Überlege nun, was passiert, wenn Du mit x gegen [mm] \pm\infty [/mm] gehst:
[mm] \lim_{x\to \infty}\bruch{x}{(x+1)}=\lim_{x\to \infty}\bruch(1- \bruch{1}{1+x})= [/mm] 1, denn [mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] geht ja gegen 0 für sehr große x.
Entsprechend: [mm] \lim_{x\to -\infty}\bruch{x}{(x+1)}=\lim_{x\to -\infty}\bruch(1- \bruch{1}{1+x})= [/mm] 1.
Es nähert sich die Funktion also für [mm] x\to \pm \infty [/mm] der Geraden y=1 an, welche somit eine horizontale Asymptote der Funktion ist.
Du kannst Dir, falls Ihr das unterscheidet, auch noch überlegen, ob der Graph sich von oben oder von unten der Asymptote nähert.
(Jetzt hoffe ich bloß noch, daß ich alle Vorzeichenfehler, die ich unterwegs in diesem Post hatte, wirklich ausgemerzt habe...)
Gruß v. Angela
>
> Pole:
> [mm]x^{2}-1=0[/mm]
> -> x=1; x=-1
> (also auch ein pol mehr als in der lösung)
>
> Lücken:
> 1. Loch bei (1/0)
> 2. Loch bei (-1/-2)
> (also auch ein loch zuviel....)
>
> Asyptoen:
> vertikale: bei x=1
> bei x=-1
>
> horizontale müsste es ja auch geben, oder?
> wie berechnet man diese?
>
> schräge gibt esmeiner meinung nach nicht.
>
>
> danke schon mal für eurer hilfe!
> Lg
> emilderverzweifelnde
>
|
|
|
|
