www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Polstelle
Polstelle < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Polstelle: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:33 Sa 28.02.2009
Autor: funktionentheorie

Aufgabe
Warum ist z = 0 keine Polstelle der Funktion [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}} [/mm] ?

Hallo!

Das ist eine Frage, die in einer Prüfung gestellt wurde. Die Antwort lautet, weil 0 nicht in der Definitionsbereich von [mm] \wurzel{z} [/mm] liegt. Das verstehe ich aber nicht. Eine Polstelle ist eine isolierte Singularität und eine isolierte Singularität ist doch eine Lücke in dem Definitionsbereich der Funktion,oder? Wie zum Beispiel [mm] \bruch{1}{z} [/mm] ist nicht bei z = 0 definiert, aber hat Polstelle bei z=0.

Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?

Grüße funktionentheorie

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Polstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:45 Sa 28.02.2009
Autor: Zwerglein

Hi, funktionentheorie,

> Warum ist z = 0 keine Polstelle der Funktion
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{z}}[/mm] ?

  

> Das ist eine Frage, die in einer Prüfung gestellt wurde.
> Die Antwort lautet, weil 0 nicht in der Definitionsbereich
> von [mm]\wurzel{z}[/mm] liegt. Das verstehe ich aber nicht. Eine
> Polstelle ist eine isolierte Singularität und eine
> isolierte Singularität ist doch eine Lücke in dem
> Definitionsbereich der Funktion,oder? Wie zum Beispiel
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] ist nicht bei z = 0 definiert, aber hat
> Polstelle bei z=0.

Meines Erachtens hast Du Recht!
Z.B. hat die reelle Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] bei x=0 einen Pol; ihre maximale Definitionsmenge ist logischer Weise D = [mm] \IR\backslash \{0 \} [/mm]

mfG!
Zwerglein

Bezug
                
Bezug
Polstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Sa 28.02.2009
Autor: funktionentheorie

Hallo!

Danke für die schnelle Antwort!

Verstehe aber noch nicht, warum dann z=0 keine Polstelle von [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}} [/mm] ist.

Grüße funktionentheorie

Bezug
                        
Bezug
Polstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Sa 28.02.2009
Autor: Zwerglein

Hi,

nochmals:
Ich denke, Du hast Recht und die Funktion HAT bei z=0 einen Pol!

mfG!
Zwerglein

Bezug
                                
Bezug
Polstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Sa 28.02.2009
Autor: Phil_W

Die Definition einer Polstelle besagt doch dass die Funktionswerte
in der Umgebung des Punktes betragsmäßig gegen Unendlich gehen müssen.
Rechtsseitig trifft das zu,
aber linksseitig geht die Funktion doch gegen ein Vielfaches von i,
da z unter der Wurzel steht.
Bist dir sicher dass sich das noch in der Umgebung befindet?
Kann mir das für ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] irgendwie nicht vorstellen


Bezug
                                        
Bezug
Polstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Sa 28.02.2009
Autor: abakus


> Die Definition einer Polstelle besagt doch dass die
> Funktionswerte
> in der Umgebung des Punktes betragsmäßig gegen Unendlich
> gehen müssen.
>  Rechtsseitig trifft das zu,
> aber linksseitig geht die Funktion doch gegen ein
> Vielfaches von i,

Wieso? Jede komplexe Zahl z lässt sich darstellen als [mm] z=r(cos\phi +i\sin\phi), [/mm] und [mm] \wurzel{z} [/mm] ist dann [mm] \wurzel{r}(cos\bruch{\phi+2k\pi}{2}+i \cdot sin\bruch{\phi+2k\pi}{2}). [/mm] Für [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}} [/mm] gilt  [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}} =\bruch{1}{\wurzel{r}}(cos\bruch{-(\phi+2k\pi)}{2}+i \cdot sin\bruch{-(\phi+2k\pi)}{2}). [/mm]
Die Zahl z=0 hat mit Sicherheit den Betrag 0, aber kein festgelegtes Argument (sondern kann jedes beliebige Argument haben).  
Gruß Abakus



>  da z unter der Wurzel steht.
>  Bist dir sicher dass sich das noch in der Umgebung
> befindet?
>  Kann mir das für ein reelles [mm]\varepsilon[/mm] irgendwie nicht
> vorstellen
>  


Bezug
                                                
Bezug
Polstelle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:23 Sa 28.02.2009
Autor: Phil_W

Was ich meinte ist dass [mm] \limes_{z\rightarrow\ 0-} \bruch{1}{\wurzel{z}} [/mm]
in jedem fall Komplex sein muss, somit in keiner reellen Umgebung von f(0) liegt
und es sich dadurch um keine Polstelle handeln kann, was das Argument betrifft hast du natürlich recht

Bezug
                                                        
Bezug
Polstelle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Sa 28.02.2009
Autor: abakus


> Was ich meinte ist dass [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0-} \bruch{1}{\wurzel{z}}[/mm]
>  
> in jedem fall Komplex sein muss, somit in keiner reellen
> Umgebung von f(0) liegt
>  und es sich dadurch um keine Polstelle handeln kann, was
> das Argument betrifft hast du natürlich recht

Bei komplexen Funktionen verlieren Begriffe wie "linkseitig", "rechtsseitig" ... ihren Sinn. Die Annäherung an z=0 kann auch entlang der imaginären Achse (oder irgendwie "schräg") erfolgen.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]