Polstelle/ stetig ergänzbare < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Mo 27.01.2014 | | Autor: | maik4474 |
Hallo
Ich schreibe Mittwoch eine Mathe Klausur in der Hochschule und eins der Themen sind Polstellen/Stetig ergenzbare bei gebrochen Rationale Funktionen. Wir haben das über L'hospital gemacht. So wie ich mir die regeln dafür aufgeschrieben habe kommen allerdings oft die falschen lösungen raus.
Meine Notizen sahen in etwa so aus: Bei [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und [mm] \bruch{unendlich}{unendlich} [/mm] Hopital anwenden, bis das nicht mehr so ist.
Dann die Def. lücke einsetzen und bei [mm] \bruch{+c}{0} [/mm] ist es eine Polstelle mit vorzeichen Wechsel von - nach +,
bei [mm] \bruch{-c}{0} [/mm] ist es eine Polstelle mit VZ wechsel von + nach -
und bei einer Konstanten (gehört 0 dazu??) ist die Funktion an der stelle stetig ergenzbar.
Irgendwo muss dort ein Fehler drinnen sein, jedoch find ich diese Regeln nirgendwo. Kann mir jemand verraten, wie das richtig wäre?
Schonmal danke im Vorraus.
•Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Meine Notizen sahen in etwa so aus: Bei [mm]\bruch{0}{0}[/mm] und [mm]\bruch{unendlich}{unendlich}[/mm] Hopital anwenden, bis das nicht mehr so ist.
jo, kann man so machen, auch wenn es oft einfacher geht.
> Dann die Def. lücke einsetzen und bei [mm]\bruch{+c}{0}[/mm] ist es eine Polstelle mit vorzeichen Wechsel von - nach +,
Wie meinst du das mit Vorzeichenwechsel?
> bei [mm]\bruch{-c}{0}[/mm] ist es eine Polstelle mit VZ wechsel von + nach -
Hier analog.
Es kann eben auch passieren, dass der Grenzwert von links nach [mm] $-\infty$ [/mm] geht und der von rechts nach [mm] $+\infty$.
[/mm]
Ein schönes Beispiel ist dafür
$f(x) = [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
Mach dir mal klar, wie die Funktion aussieht und bei 0 eine Polstelle vorliegt. Und das ganze ohne Vorzeichenwechsel auf beiden Seiten.
> und bei einer Konstanten (gehört 0 dazu??) ist die Funktion an der stelle stetig ergenzbar.
Ja, die Null gehört auch dazu, dann ist die Funktion an der Stelle eben 0.
> Irgendwo muss dort ein Fehler drinnen sein, jedoch find ich diese Regeln nirgendwo.
Wie kommst du drauf?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Di 28.01.2014 | | Autor: | maik4474 |
Am besten ich schreibe das problem mal auf ein Blatt. Das eigentliche ergebnis müsste laut musterlösung sein x=1 ist stetig ergenzbar und x=-1 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Di 28.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Am besten ich schreibe das problem mal auf ein Blatt.
Das ganze schriftlich zu machen, ist ja schon zielführend. Aber es hier in dieser Form zu präsentieren, auch noch um 90=° verdreht: das ist nicht die beste Idee, eher das Gegenteil...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Di 28.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Am besten ich schreibe das problem mal auf ein Blatt.
>
> Das ganze schriftlich zu machen, ist ja schon zielführend.
> Aber es hier in dieser Form zu präsentieren, auch noch um
> 90=° verdreht: das ist nicht die beste Idee, eher das
> Gegenteil...
Hallo Diophant,
ich hab gerade meinen Schreibtisch leergeräumt und hab mich auf meine linke Seite vor den Bildschirm gelegt. Ich konnte es prima lesen, bis ein Kollege in mein Büro kam und mich gefragt hat, ob ich noch alle Tassen im Schrank habe...
Gruß FRED
>
> Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Di 28.01.2014 | | Autor: | maik4474 |
Warum ist es keine gute idee es in diesem forum zu präsentieren? Ich lade es nochmal richtig herum hoch.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Di 28.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Warum ist es keine gute idee es in diesem forum zu
> präsentieren? Ich lade es nochmal richtig herum hoch.
Du erwartest hilfreiche/zielführende Antworten? Dafür müssen sich andere User Zeit nehmen, und sie müssen die Möglichkeit haben, dich zu zitieren. Du schiebst also hier einfach nur die Arbeit, die eindeutig dein Job wäre, auf andere ab. Keine so schlaue Idee, wenn man Hilfe haben möchte, oder?
Wir sind hier kein Selbstbedienugsladen und auch keine Lösungsmaschine, sondern ein ernsthaftes Fachforum, und da dürfen wir schon auch eine ernsthafte Threadführung von Seiten der Fragesteller erwarten.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Di 28.01.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Maik!
Die gute Idee war, uns die Aufgabe und deinen Lösungsweg zu zeigen. Die schlechte Idee war die Art der Präsentation: ein mäßig leserliches und gedrehtes Bild schaut man sich nicht besonders gern an.
Tipp für's nächste Mal: Schreib gleich in der ersten Frage die Aufgabenstellung dazu. Wenn du Bilder einfügen willst, achte auf Lesbarkeit und füge es am besten gleich in den Text ein. Und noch viel besser: Mach dich mit dem Formeleditor des Forums vertraut!
> Am besten ich schreibe das problem mal auf ein Blatt. Das
> eigentliche ergebnis müsste laut musterlösung sein x=1
> ist stetig ergenzbar und x=-1 ist eine Polstelle mit
> Vorzeichenwechsel.
Du hast also [mm]f(x)=\bruch{x^3-x^2-4x+4}{x^2-1}[/mm] (geh mit der Maus über die Formel, um zu sehen, wie man das hier im Forum schreiben kann).
Die kritischen Stellen sind [mm]x=\pm 1[/mm], da hier der Nenner Null wird.
Nähert man sich auf der x-Achse beispielsweise der 1, ist der Grenzwert [mm]\lim_{x \to 1}\bruch{x^3-x^2-4x+4}{x^2-1}=\bruch{1-1-4+4}{1-1}=\bruch{0}{0}[/mm]. Die beiden "=" sind dabei nicht so ernst zu nehmen, da die letzten beiden Brüche nicht definiert sind. Aber du siehst so, dass du l'Hopital anwenden darfst, d.h. es gilt [mm]\lim_{x \to 1}\bruch{x^3-x^2-4x+4}{x^2-1}=\lim_{x \to 1}\bruch{3x^2-2x-4}{2x}=\lim_{x \to 1}\bruch{3-2-4}{2}=-\bruch{3}{2}[/mm]. Mit anderen Worten: die vermeintliche Polstelle x=1 ist stetig ergänzbar und der Funktionswert an dieser Stelle ist -3/2.
(Nochmal l'Hopital anwenden darfst du übrigens nicht! Nach einmaligem Ableiten hat der Grenzwert ja nicht mehr die Form [mm]\bruch{0}{0}[/mm], sonder ist gleich [mm]-\bruch{3}{2}[/mm].)
Jetzt zu x=-1:
Darf man wieder l'Hopital anwenden?
[mm]\lim_{x \to -1}\bruch{x^3-x^2-4x+4}{x^2-1}=\bruch{-1-1+4+4}{1-1}=\bruch{6}{0}=\infty[/mm] hat nicht die passende Form, aber der Grenzwert sagt uns, dass eine Polstelle vorliegt.
Ob mit oder ohne VZW kannst du dir überlegen, indem du dich der -1 einmal von links und einmal von rechts näherst: für x<-1 ist der Nenner positiv, für x>-1 ist er negativ, also liegt ein VZW vor und der Graph geht links der -1 gegen [mm] $\infty$ [/mm] und rechts der -1 gegen [mm] $-\infty$
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Di 28.01.2014 | | Autor: | maik4474 |
Hallo Fulla.
Das ist echt super nett, dass du mir das erklärt hast, ich hab das jetzt auch verstanden (auch die Kritik) Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Maik,
freut micht, dass ich dir helfen konnte.
Die "Kritik" war gar nicht wirklich als solche gemeint. Ich wollte dir nur Tipps geben, wie du zukünftig mehr, bzw. schneller Antworten bekommst.
Überleg mal: du kennst dich auf einem Gebiet ganz gut aus und jemand stellt diesbezüglich eine Frage. Würdest du deine Freizeit (!) opfern, um demjenigen zu helfen, wenn du erst umständlich irgendwelche Anhänge öffnen müsstest, welche dann auch noch schlecht lesbar sind? Oder wenn du erst nach der genauen Aufgabenstellung fragen müsstest?
Du musst gar nicht antworten, ich wollte dir nur sagen, warum du überhaupt (konstruktive) "Kritik" bekommen hast.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Di 28.01.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Dann die Def. lücke einsetzen und bei [mm]\bruch{+c}{0}[/mm] ist es
> eine Polstelle mit vorzeichen Wechsel von - nach +,
> bei [mm]\bruch{-c}{0}[/mm] ist es eine Polstelle mit VZ wechsel
> von + nach -
Das würde ich mal ganz schnell wieder vergessen. Abgesehen davon, dass diese Terme gar nicht definiert sind, ist doch [mm]\frac{c}{0}=\frac{(-1)\cdot c}{(-1\cdot 0}=\frac{-c}{0}[/mm]. So kannst du nicht bestimmen, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt.
Lieben Gruß,
Fulla
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