Polstellen, Asymptoten < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Di 08.05.2007 | | Autor: | svenchen |
Schönen Nachmittag,
eigentlich brauche ich die Fragen für Höma II, aber es ist Schulstoff, deswegen schreibe ich mal hier.
Es geht um gebrochen rationale Funktionen.
Ich weiß, wie man die Asymptote bestimmt. Wie aber kann ich herausfinden, ob sich der Graph oberhalb oder unterhalb der Asymptote annährt? Das gleiche gilt für Polstellen, woher weiß ich da ob der Graph ins positiv oder negativ unendliche geht?
Ich bedanke mich...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Di 08.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ob sich der Graph von oben oder von unten einer schrägen Asymptote nähert, bekommst du heraus, wenn du dir das Verhalten des Graphen einmal anguckst.
Dort siehst du dann schon, wenn du die Krümmung etc.berechnet hast, ob sich der Graph nun von unten oder von oben anschmiegt.
Bei einer waagerechten Tangente ist das meist einfacher.
Dort kannst du dann einfach den Grenzwert bilden, und dann siehst du z.B. dass der Grenzwert der Funktion gegen 0 geht ,z.B. bei dem Term [mm] \bruch{x^3+3}{x^4}:
[/mm]
Der Grenzwert für [mm] |\infty| [/mm] ist sicher 0.
Lässt du x aber gegen [mm] +\infty [/mm] gehen, dann siehst du: [mm] x^3 [/mm] ist positiv, und [mm] x^4 [/mm] ist ebenfalls positiv, also sind die Funktionswerte positiv, der Graph nähert sich von oben der x-Achse.
Lässt du x gegen [mm] -\infty [/mm] gehen, dann siehst du: [mm] x^3 [/mm] ist negativ, [mm] x^4 [/mm] ist positiv. Der Funktionswert geht zwar gegen Null, die Funktionswerte sind allerdings negativ, also nähert sich die Funktion von unten der x-Achse.
Ebenso geht das mit den Polstellen:
Du lässt zb bei der oben erwähnten Funktion x gegen Null gehen (denn hier ist ja eine Definitionslücke).
Dann musst du dich einmal der 0 von links nähern (d.h. Werte, die negativ sind, aber sehr sehr nah an Null sind in Gedanken einsetzen):
[mm] x^3+3 [/mm] geht gegen 3, [mm] x^4 [/mm] geht gegen [mm] +\infty [/mm] => der Graph verschwindet ins Positive.
Und einmal werte, die positiv sind, und sehr nach an Null sind in Gedanken einsetzten:
[mm] x^3+3 [/mm] geht wieder gegen 3, [mm] x^4 [/mm] gegen [mm] +\infty, [/mm] also geht der Graph auch hier ins Positive weg.
D.h. du musst dir den Zähler und Nenner ansehen, und gucken, ob dann dort etwas positives oder negatives steht.
Wenn du ein Beispiel hast, oder weitere Fragen, dann melde dich bitte.
LG
Kroni
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