Polstellen, Löcher + Ableitung < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 08.10.2006 | | Autor: | garx |
| Aufgabe | a) Bestimme die Nullstellen, "Löcher" und Polstellen von f(x) = [mm] $\bruch{(x-7)(x²+3)(2x+9)(3x-5)}{(9x-15)(x+2)(x-5)(x²+1)}$
[/mm]
b) Bestimme die Asymptotenfunktion von [mm] f(x)=$\bruch{3x^4-11x²-5x-10}{x²-4}$
[/mm]
c) Bestimme f' von [mm] $f(x)=3x^4*\wurzel{2x-1}$. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich schreib zunächst einmal auf, was ich verstanden habe damit ihr evtl meine Fehler korrigieren könnt :)
zu a)
Nulstellen errechnet man, indem man den Zähler 0 bekommt. Da wir eine faktorisierte Funktion haben, muss in den Klammern einfach 0 rauskommen.
Nullstellen: 7, -4,5 , [mm] $\bruch{5}{3}$
[/mm]
Polstellen sind wie Grenzwerte. Polstellen hat man, wenn der Nenner theoretisch 0 ergeben würde. Also wieder in den Klammern einfach 0 errechnen.
Polstellen: [mm]\bruch{5}{3} , -2 , 5 [/mm]
Löcher (Lücken?!) sind Werte für die es keinen Punkt im Graphen gibt.
Da weiß ich nicht genau wie man sie errechnet. Ich glaube, dass sind die x-Werte, die für Zähler UND Nenner 0 ergeben. In unserem Fall also [mm] $\bruch{5}{3}$
[/mm]
zu b)
Einfach eine Polynomdivision ausrechnen und die Asymptotenfunktion heraus'picken' (der Teil, der kein Rest ist)
zu c)
Ich schreibe mal auf, bis wohin ich gekommen bin:
f'(x) = (v*u')+(v'+u) // Produktregel
f'(x) = [mm](\wurzel{2x-1}*12x³)+(\bruch{1}{2\wurzel{2x-1}}*3x^4 [/mm]
f'(x) = [mm] 12x³*\wurzel{3x-1}+3x^4*\bruch{1}{2\wurzel{2x-1}} [/mm]
Es funktioniert irgendwie nicht eine Wurzel unter einem Bruchstrich zu schreiben :/
Weiter komme ich nicht. Was muss ich noch beachten
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 So 08.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo garx!
Bitte stelle doch das nächste mal drei derartig unterschiedliche Aufgaben auch in unterschiedlichen Threads ...
> Nulstellen errechnet man, indem man den Zähler 0 bekommt.
> Da wir eine faktorisierte Funktion haben, muss in den
> Klammern einfach 0 rauskommen.
>
> Nullstellen: 7, -4,5 , [mm]\bruch{5}{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Fast ... siehe unten!
> Polstellen sind wie Grenzwerte. Polstellen hat man, wenn
> der Nenner theoretisch 0 ergeben würde. Also wieder in den
> Klammern einfach 0 errechnen.
>
> Polstellen: [mm]\bruch{5}{3} , -2 , 5[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Auch hier die [mm] $\bruch{5}{3}$ [/mm] besonders beachten. Da sie auch Nullstelle des Zählers ist, ist es keine Polstelle.
> Löcher (Lücken?!) sind Werte für die es keinen Punkt im
> Graphen gibt.
>
> Da weiß ich nicht genau wie man sie errechnet. Ich glaube,
> dass sind die x-Werte, die für Zähler UND Nenner 0 ergeben.
> In unserem Fall also [mm]\bruch{5}{3}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt soweit ...
Allerdings ist dann die [mm] $\bruch{5}{3}$ [/mm] auch keine Nullstelle dieser Funktion, da sie gar nicht erst im Definitionsbereich der Funktion enthalten ist.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 So 08.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo garx!
> zu b)
>
> Einfach eine Polynomdivision ausrechnen und die
> Asymptotenfunktion heraus'picken' (der Teil, der kein Rest ist)
Genau!
Willst Du uns auch Dein Ergebnis verraten?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 So 08.10.2006 | | Autor: | garx |
Mein Asymptotenfunktion ist dann 3x²+1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 So 08.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo garx!
Das habe ich ebenfalls erhalten ... !
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 08.10.2006 | | Autor: | garx |
$ f'(x) \ = [mm] \wurzel{2x-1}\cdot{}12x^3+\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{2x-1}}\red{\cdot{}2}\cdot{}3x^4 [/mm] $
Wieso muss da denn noch *2 hin? Das versteh ich nicht.
Die Ableitung von [mm] $\wurzel{2x-1}$ [/mm] ist meiner Meinung nach
[mm] \bruch{1}{2} * (2x-1)^-\bruch{1}{2} [/mm]
Bitte um Korrektur :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 So 08.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]f'(x) \ = \wurzel{2x-1}\cdot{}12x^3+\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{2x-1}}\red{\cdot{}2}\cdot{}3x^4[/mm]
>
>
> Wieso muss da denn noch *2 hin? Das versteh ich nicht.
>
> Die Ableitung von [mm]\wurzel{2x-1}[/mm] ist meiner Meinung nach
>
> [mm]\bruch{1}{2} * (2x-1)^-\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
> Bitte um Korrektur :)
Nein, hier musst du die  Kettenregel anwenden.
[mm] f(x)=\wurzel{2x-1}
[/mm]
Jetzt definieren wir g(x):=2x-1
Also [mm] \wurzel{2x-1}=f(g(x))
[/mm]
Das abgeleitet ergibt mit der Kettenregel
[mm] f'(g(x))\cdot{}g'(x), [/mm] also hier
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{g(x)}}*\red{2}=\bruch{\not2}{\not2\wurzel{2x-1}}=\bruch{1}{\wurzel{2x-1}} [/mm]
Marius
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