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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Do 06.11.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Ich hab eine Frage zur Definition eines Polyders.
Also eine Menge P heißt ja dann Polyeder, wenn die P die Menge aller [mm] x\in\IR [/mm] ist, für die [tex]Ax\le b[/tex] erfüllt ist, bei gegebenen A und b.
Nun weiß ich nicht so ganz, wie ich mir das graphisch vorstellen kann. Ein Polyeder ist ja so ein regelmäßiges Gebilde, wie ein Würfel. Meine Tutorin meinte dann, ich solle mir in der Bedingung [tex]Ax\le b[/tex] einfach mal Gleichheit vorstellen, den Lösungsvektor berechnen, ihn einzeichnen, und alle Punkte darunter und inklusive dem sind das Polyeder.
Ich hab mal versucht, mir dazu ein Beispiel zu basteln:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 }*\vektor{x_1 \\ x_2}\le\vektor{4 \\ 2}. [/mm] Bei Gleichheit erhalte ich als Ergebnis [mm] \vektor{-8 \\ 6}. [/mm] Wenn ich das jetzt zeichne hab ich einen Vektor zum Punkt (-8 / 6).
Jetzt frag ich mich zum einen, wie ich unterhalb davon etwas markieren kann (in einem Bild). Dazu müsste der Vektor ja erstmal eine Gerade sein, die den Raum in 2 Teile trennt, damit es ein "darunter" überhaupt gibt. Aber einen Ortsvektor kann ich doch nicht einfach verlängern ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
So, aber mal angenommen, das könnte ich, dann hätte ich nicht mehr als einen Halbraum. Ich sehe da kein Polyeder oder sowas, wo soll da ein regelmäßiges Gebilde sein?
Und wie sähe das ganze z.B. für einen Würfel aus? Da bräuchte ich ja dann 4 Begrenzungslinien, wie soll ich die mit [tex]Ax\le b[/tex] erhalten? Ich müsste ja dann irgendwie vier Gleichheit-Lösungen erhalten ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Könnte mir jemand weiterhelfen?
LG, Nadine
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Hallo Pacapear!
Wie war das: wohnst du in Bonn oder studierst du auch in Bonn? Sag nicht, du hörst das hier im Arithmeum? 
> Ich hab mal versucht, mir dazu ein Beispiel zu basteln:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 }*\vektor{x_1 \\ x_2}\le\vektor{4 \\ 2}.[/mm]
> Bei Gleichheit erhalte ich als Ergebnis [mm]\vektor{-8 \\ 6}.[/mm]
> Wenn ich das jetzt zeichne hab ich einen Vektor zum Punkt
> (-8 / 6).
Was du gemacht hast, war, das Gleichungssystem zu lösen, dann erhältst du in diesem Fall nur genau eine Lösung. Löst du aber das eigentliche Ungleichungssystem, so erhältst du alle Vektoren, die du brauchst. Wenn ich mich nicht irre, kommt da dann einfach raus: [mm] x\le [/mm] -8 und [mm] y\le [/mm] 6, versuch's doch mal probehalber mit ein paar Beispielzahlen, die müssten alle die beiden Ungleichungen erfüllen.
Wenn du die nun in ein KOS einzeichnest, erhälst du eine recht langweilige unendlich große Fläche, aber eine Fläche.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Die geometrische Intuition bekommst du am besten, wenn du dir von den Ungleichungen immer nur eine anschaust.
Beispielsweise schauen wir uns mal das folgende Polyeder an:
[mm] x_{1}+x_{2}\le [/mm] 1
[mm] -x_{1}\le [/mm] 0
[mm] -x_{2}\le [/mm] 0
Schauen wir uns zuerst mal die unteren beiden Nebenbedinungen an: Je eine davon wird immer mit Gleichheit erfüllt, wenn [mm] x_{1}=0 [/mm] oder [mm] x_{2}=0. [/mm] Somit erfüllt nur der Nullpunkt beide Ungleichungen mit Gleicheit. Die Punkte, die die zweite Ungleichung erfüllen, sind alle mit positivem [mm] x_{1} [/mm] Wert, und bei der dritten allle mit positivem [mm] x_{2} [/mm] Wert. Das Polyeder, dass von den beiden unteren Ungleichungen beschrieben wird, ist also genau der positive Orthant, also das rechte obere "Quadart" wenn Du es in ein Koordinatensystem zeichnest. Wenn Du das mal machst, siehst du, dass der Punkt (0/0) etwas besonderes ist. Er ist genau eine Ecke des Polyeders.
Nun mal noch die erste Ungleichung dazu: Die Punkte, die die mit Gleichheit erfüllen, liegen alle auf der Geraden, die durch die Punkte (0/1) und (1/0) geht. Alle Punkte, die diese Ungleichung erfüllen, liegen also "unterhalb" dieser Gerade.
Das Polyeder, der Punkte, die allen drei Ungleichungen genügen ist also genau das Dreieick, der Punkte (0/0), (0/1) und (1/0)...
Diese Punkte entsprechen genau den Ecken des Polyeders, und das sieht man auch am Ungleichungssystem, denn genau in diesen drei Punkten sind jeweils zwei der Ungleichungen mit Gleichheit erfüllt.. Nun alles klar?!
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