Polyeder P = conv(V) + cone(W) < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien P ein Polyeder und seien V, W [mm] \subseteq \IR^n. [/mm] Zeigen Sie: P = conv(V) + cone(W) genau dann, wenn x + P = conv(x+V) + cone(W) ist für alle x [mm] \in \IR^n [/mm] |
Hallo,
zu obiger Aufgabe habe ich folgendes bereits gemacht:
[mm] \Leftarrow [/mm] :
ang. x + P = conv(x+V) + cone(W) für alle x [mm] \in \IR^n
[/mm]
dann gilt dies insbesondere auch für x = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] :
ang. P = conv(V) + cone(W)
addiert man auf beiden Seiten den Vektor x
[mm] \gdw [/mm] x + P = x + conv(V) + cone(W)
jetzt habe ich mir überlegt zu zeigen, dass
x + conv(V) = conv(x+V)
und habe so angefangen:
conv(V) = [mm] \{\summe_{i=1}^{n} \lambda_i v_i | v_i \in V, n \in \IN, \summe_{i=1}^{n} \lambda_i = 1; \lambda_i \ge 0 \}
[/mm]
jetzt habe ich mir ein bel. Element aus conv(V) rausgenommen und es so aufgeschrieben:
x + conv(V) = x + [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i v_i
[/mm]
aber jetzt komme ich leider nicht mehr weiter. Könnte mir jemand weiterhelfen?
Viele Grüße,
Gratwanderer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 So 08.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Wenn du x zum Polyeder dazu addierst, dann gilt dies insbesondere auch für die Ecken.
Wenn [mm] $\lambda=(\lambda_1 [/mm] ... [mm] \lambda_n)=e_k$ [/mm] ein Einheitsvektor ist, dann erhälst du in deiner Summe nur die Eckpunkte vom Polyeder.
Damit kannst du das x auf die Ecken schieben (indem du es in die Summe hineinziehst) und hast das, was du brauchst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Di 10.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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