Polygonzugverfahren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine näherungsweise Lösung der DGL x'=cx, [mm] x(t_0)=x_0, c\not=0
[/mm]
an einer Stelle [mm] H>t_0 [/mm] mit Hilfe des eulerschen Polygonzugverfahrens und zeigen sie dabei, dass der Näherungswert für feiner äquidistante Zerlegungen des Intervalls [mm] [t_0, [/mm] H] (z.B. für [mm] h_n=\frac{H-t_0}{n} [/mm] gegen den wirklichen Wert x(H) der Lösung x konvergiert. |
Hi,
rekursiv erhält man mit dem Polygonzugverfahren:
[mm] x_{i+1}=x_i+hF(t_i,x_i), t\in(t_i,t_{i+1})
[/mm]
mit [mm] h_n=\frac{H-t_0}{n} [/mm] und F(t,x)=cx:
[mm] x_{i+1}=x_i+\frac{H-t_0}{n}\cdot [/mm] cx
Ist hierbei verlangt, [mm] x_1, x_2,...durch [/mm] rekursives einsetzen zu bestimmen, oder wie muss ich weiter verfahren, um eine Konvergenz gegen x(H) zeigen zu können? Bzw. wie erreiche ich überhaupt, mit diesem Verfahren nun eine Näherungslösung an einer beliebigen Stelle [mm] H>t_0 [/mm] zu bekommen?
Liebe Grüße
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
|
|
| |
|
Hallo,
> Bestimmen Sie eine näherungsweise Lösung der DGL x'=cx,
> [mm]x(t_0)=x_0, c\not=0[/mm]
>
> an einer Stelle [mm]H>t_0[/mm] mit Hilfe des eulerschen
> Polygonzugverfahrens und zeigen sie dabei, dass der
> Näherungswert für feiner äquidistante Zerlegungen des
> Intervalls [mm][t_0,[/mm] H] (z.B. für [mm]h_n=\frac{H-t_0}{n}[/mm] gegen
> den wirklichen Wert x(H) der Lösung x konvergiert.
> Hi,
>
> rekursiv erhält man mit dem Polygonzugverfahren:
>
> [mm]x_{i+1}=x_i+hF(t_i,x_i), t\in(t_i,t_{i+1})[/mm]
>
> mit [mm]h_n=\frac{H-t_0}{n}[/mm] und F(t,x)=cx:
>
> [mm]x_{i+1}=x_i+\frac{H-t_0}{n}\cdot[/mm] cx
>
>
fast. Besser:
[mm]x_{i+1}=x_i+\frac{H-t_0}{n}\cdot cx_i[/mm]
Ausklammern gibt
[mm]x_{i+1}=x_i(1+\frac{c(H-t_0)}{n})[/mm]
> Ist hierbei verlangt, [mm]x_1, x_2,...durch[/mm] rekursives
> einsetzen zu bestimmen, oder wie muss ich weiter verfahren,
> um eine Konvergenz gegen x(H) zeigen zu können? Bzw. wie
> erreiche ich überhaupt, mit diesem Verfahren nun eine
> Näherungslösung an einer beliebigen Stelle [mm]H>t_0[/mm] zu
> bekommen?
>
Jetzt kannst Du Dich in der Tat rekursiv bis zu [mm] x_0 [/mm] zurückarbeiten. Durch scharfes Hinsehen kannst Du dann von dem resultierenden Ausdruck den Grenzwert bestimmen, der (hoffentlich) mit der relativ offensichtlichen, analytischen lösung der gleichung übereinstimmt.
gruss
Matthias
> Liebe Grüße
>
>
> "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt."
|
|
|
|
