Polynom-/Potenzreihenring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:11 Mi 22.11.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, K[X] der Polynomring in einer Variablen über K und K[|X|] der formale Potenzreihenring in einer Variablen über K. Zeige:
(a) [mm] K[X]^{\times} [/mm] = [mm] K^{\times} [/mm] wobei [mm] K^{\times} [/mm] = { a [mm] \in [/mm] K | [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] K: a [mm] \times [/mm] b = b [mm] \times [/mm] a = 1 }
(b) Die Abbildung
K[|X|] [mm] \to [/mm] K mit [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} \mapsto a_{0} [/mm]
induziert einen surjektiven Gruppenhomomorphismus [mm] K[|X|]^{\times} \to K^{\times}, [/mm] dessen Kern die Untergruppe 1+XK[|X|] = { [mm] 1+\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} [/mm] | [mm] a_{i} \in [/mm] K } ist. |
Hallo alle zusammen!
Ich habe versucht die Aufgaben zu lösen, und bin soweit gekommen:
(a) Sei [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} \in K[X]^{\times}.
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} [/mm] = [mm] a_{0}X^{0} [/mm] + ... + [mm] a_{n_{0}}X^{n_{0}} [/mm]
[mm] \gdw a_{0} [/mm] (1,0,0, ...) + [mm] a_{1} [/mm] (0,1,0,0, ...) + ... + [mm] a_{n_{0}} [/mm] (0,0, ...,1)
[mm] \gdw a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n_{0}} \in K^{\times}
[/mm]
ist damit bewiesen, dass die Aussage stimmt oder muss ich noch mehr zeigen?
(b) Definiere [mm] \phi: K[|X|]^{\times} \to K^{\times}.
[/mm]
zu zeigen: [mm] \phi [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus:
[mm] \phi(\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i}+\summe_{i=0}^{\infty}b_{i}X^{i}) [/mm] = [mm] \phi(\summe_{(i=0}^{\infty}(a_{i}+b_{i})X^{i}) [/mm] = [mm] a_{0}+b_{0} [/mm] (nach definition)
[mm] \phi(\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i})+\phi(\summe_{i=0}^{\infty}b_{i}X^{i}) [/mm] = [mm] a_{0}+b_{0} [/mm]
also ist [mm] \phi [/mm] ein Gruppenhomom.
stimmt das so?
nun muss ich zeigen, dass [mm] \phi [/mm] surjektiv ist.
das ist klar, da [mm] \phi(K[|X|]^{\times}) [/mm] = [mm] a_{0}.
[/mm]
stmmt das?
jetzt muss ich noch zeigen, dass der kern die untergruppe 1+XK[|X|] = { [mm] 1+\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} [/mm] | [mm] a_{i} \in [/mm] K } ist.
der kern ist doch wie folgt definiert:
[mm] kern(\phi) [/mm] = { [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} \in K[|X|]^{\times} [/mm] | [mm] a_{0} [/mm] = 1 }
aber wie zeige diese aussage hier? ich komm irgendwie nicht drauf.
ich hoffe, ihr könnt mir meine fragen beantworten und mir weiterhelfen die aufgabe zu lösen.
vielen dank!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Fr 24.11.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo leute!
könntet ihr mir bitte sagen, ob mein Ansatz oder meine idee richtig ist?
Ich hoffe, ihr könnt mir einen tipp geben oder mich verbessern.
vielen dank!
VH
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Fr 24.11.2006 | | Autor: | statler |
> Sei K ein Körper, K[X] der Polynomring in einer Variablen
> über K und K[|X|] der formale Potenzreihenring in einer
> Variablen über K. Zeige:
> (a) [mm]K[X]^{\times}[/mm] = [mm]K^{\times}[/mm] wobei [mm]K^{\times}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { a [mm]\in[/mm]
> K | [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] K: a [mm]\times[/mm] b = b [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
a = 1 }
Mahlzeit!
> Ich habe versucht die Aufgaben zu lösen, und bin soweit
> gekommen:
>
> (a) Sei [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} \in K[X]^{\times}.[/mm]
Erstens ist die Summe endlich, weil es ja ein Polynom ist, und zweitens gibt es ein Inverses. Beides benutzt du aber gar nicht.
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i}[/mm] = [mm]a_{0}X^{0}[/mm] + ... +
> [mm]a_{n_{0}}X^{n_{0}}[/mm]
> [mm]\gdw a_{0}[/mm] (1,0,0, ...) + [mm]a_{1}[/mm] (0,1,0,0, ...) + ... +
> [mm]a_{n_{0}}[/mm] (0,0, ...,1)
> [mm]\gdw a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n_{0}} \in K^{\times}[/mm]
Ein [mm] \gdw [/mm] verbindet zwei Aussagen miteinander, bei dir ist der Mittelteil aber einfach ein Term und keine Aussage.
> ist damit bewiesen, dass die Aussage stimmt oder muss ich
> noch mehr zeigen?
Was du hingeschrieben hast, ist (leider) ohne Sinn. Eine logische Äquivalenz besteht doch aus 2 Richtungen. Du solltest dem Leser zunächst sagen, welche Richtung du dir gerade vornimmst und dann für den Beweis mit begründeten 'wenn - dann'-Folgerungen hantieren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:05 Mo 27.11.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Ich habe nun versucht die Aufgabe zu lösen.
Könnt ich mich bitte verbessern bzw. mir helfen die Aufgabe zu lösen?
Hier ist mein Ansatz:
zur (a):
Zunächste beweise in die eine Richtung: [mm] K[X]^{\times}\subseteq K^{\times}
[/mm]
Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} \in K[X]^{\times}.
[/mm]
Dann:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} [/mm] = [mm] a_{0}X^{0} [/mm] + ... + [mm] a_{n_{0}-1}X^{n_{0}-1} [/mm]
(da lauf definition von K[X] gilt: K[X] = { [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a_{n}X^{n} [/mm] | [mm] \exists n_{0} \in \IN: a_{n}=0 \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0} [/mm] })
also: [mm] a_{0}X^{0} [/mm] + ... + [mm] a_{n_{0}-1}X^{n_{0}-1} [/mm] = [mm] a_{0}(1,0,0,...) [/mm] + ... + [mm] a_{n_{0}-1}(0,0,0,0,...,1)
[/mm]
= [mm] (a_{0},0,0,...) [/mm] + ... + [mm] (0,0,...,a_{n_{0}-1})
[/mm]
= [mm] (a_{0},...,a_{n_{0}-1})
[/mm]
= [mm] (a_{n})_{n} [/mm] mit n [mm] \in {0,...,n_{0}-1}.
[/mm]
es gilt: [mm] (a_{n})_{n} \in K^{\times}
[/mm]
(es gibt nämlich ein Inverses [mm] (b_{n})_{n} [/mm] zu [mm] (a_{n})_{n} [/mm] mit [mm] (a_{n})_{n} \times (b_{n})_{n} [/mm] = [mm] (b_{n})_{n} \times (a_{n})_{n} [/mm] = 1.)
jetzt zeige ich die andere richtung: [mm] K^{\times} \subseteq K[X]^{\times}
[/mm]
Sei a [mm] \in K^{\times}.
[/mm]
Dann gibt es also ein b [mm] \in [/mm] K mit ab=ba=1.
Also:
[mm] ab=ba=1=X^{0}=(1,0,0,...) [/mm] neutrales Element = [mm] (a_{n})_{n} [/mm] mit [mm] a_{n}=0 [/mm] für n [mm] \not= [/mm] 0, [mm] a_{0}=1
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} [/mm]
und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} \in K[X]^{\times}
[/mm]
zu der (b):
zunächst zeige ich, dass [mm] \phi: K[|X|]^{\times} \to K{\times} [/mm] ein surjektiver Homomorphismus ist.
Seien [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} [/mm] und [mm] \summe_{m=0}^{\infty} b_{m}X^{m} \in K[|X|]^{\times}. [/mm]
z.z. [mm] \phi(\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} \summe_{m=0}^{\infty} b_{m}X^{m}) [/mm] = [mm] \phi(\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n}) \phi(\summe_{m=0}^{\infty} b_{m}X^{m}).
[/mm]
[mm] \phi(\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} \summe_{m=0}^{\infty} b_{m}X^{m}) [/mm] = [mm] \phi(\summe_{n,m=0}^{\infty} a_{n}b_{m}X^{n+m} [/mm] ) = [mm] a_{0}b_{0}
[/mm]
[mm] \phi(\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n}) \phi(\summe_{m=0}^{\infty} b_{m}X^{m}) [/mm] = [mm] a_{0}b_{0} [/mm] (nach Def.)
Also ist [mm] \phi [/mm] ein Gruppenhomom.
Das [mm] \phi [/mm] surjektiv ist, ist klar, da gilt: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in K^{\times}={a_{0}} \exists \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n}) \in K[|X|]^{\times} [/mm] mit [mm] \phi(K[|X|]^{\times} )=a_{0}.
[/mm]
nun bleibt noch zu zeigen, dass Kern die oben genannte Untergruppe 1 + XK[|X|] ist.
der kern ist wie folgt def.:
[mm] kern\phi [/mm] = { [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} \in K[|X|]^{\times} [/mm] | [mm] a_{0}=1 [/mm] }
zu zeigen also: { [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} \in K[|X|]^{\times} [/mm] | [mm] a_{0}=1 [/mm] } = { 1 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}X^{n} [/mm] | [mm] a_{n} \in [/mm] K }
Kann ich dies so begründen, in dem ich sage, dass man 1 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}X^{n} [/mm] auch so schreiben kann:
1 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}X^{n} [/mm] = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}X^{n} [/mm] = [mm] a_{0}X^{0} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}X^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n}
[/mm]
Ich hoffe, ihr könnt mir bei meiner Aufgabe weiterhelfen!
vielen vielen dank!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Fr 24.11.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo!
danke für die antwort! aber leider verstehe ich nicht wirklich, was ich genau falsch gemacht habe.
die summe, so wie ich sie hingeschrieben habe, haben wir in der vorlesung so definiert.
wie kann ich die eigenschaft, dass ein inverses existiert, für den beweis nutzen?
könnt ihr bitte helfen und mir einen konkreten tipp geben, wie ich die aufgabe lösen kann?
vielen, vielen dank!
VH
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 30.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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