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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Siri |
| Aufgabe | Das Minimalpolynom m(X) eines Endomorphismus [mm]\phi[/mm] eines K-Vektorraums V habe die Form m(X) =u(X)*v(X) mit teilerfremden Polynomen u(X), v(X) [mm][mm] \in(mm] [/mm] K[X].
Berechnen Sie für den Fall K = 2 und u(X) = X²+1 und v(X) = X²+X+1 Polynome s(X) und t(X), für die sich jeder Vektor [mm]x \in V[/mm] in der Form [mm]x = (u(\phi) \circ s(\phi))(x)+(v(\phi) \circ t(\phi))(x)[/mm] schreiben lässt. |
Heyda ihr's,
also ich habe da so ne Aufgabe und komm nicht weiter und da dachte ich: frag ich doch einfach mal!
Ich hatte damit angefangen mit mein m(X) zu berechnen und bin da auf
m(X)=(X+1)²(X²+X+1) gekommen. NA und jetzt weiß ich schon nicht weiter. Könnt ihr mir vielleicht bitte helfen. Das wäre echt super super lieb.
Alles gute
Eure Siri
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PPS: Ich finde diese Seite ihr echt cooli.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Sa 04.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Das Minimalpolynom m(X) eines Endomorphismus [mm]\phi[/mm] eines
> K-Vektorraums V habe die Form m(X) =u(X)*v(X) mit
> teilerfremden Polynomen u(X), v(X) [mm][mm]\in(mm][/mm] K[X].
>
> Berechnen Sie für den Fall K = 2 und u(X) = X²+1 und v(X) = X²+X+1
> Polynome s(X) und t(X), für die sich jeder Vektor [mm]x \in V[/mm] in der
> Form [mm]x = (u(\phi) \circ s(\phi))(x)+(v(\phi) \circ t(\phi))(x)[/mm]
> schreiben lässt.
> Heyda ihr's,
>
> also ich habe da so ne Aufgabe und komm nicht weiter und da dachte ich:
> frag ich doch einfach mal!
> Ich hatte damit angefangen mit mein m(X) zu berechnen und bin da auf
> m(X)=(X+1)²(X²+X+1) gekommen.
Das brauchst du gar nicht 
> NA und jetzt weiß ich schon nicht weiter. Könnt ihr mir vielleicht bitte helfen. Das wäre echt super super lieb.
Versuchs mal wie folgt: Wenn [mm]x = (u(\phi) \circ s(\phi))(x)+(v(\phi) \circ t(\phi))(x) = (u(\phi) \circ s(\phi) + v(\phi) \circ t(\phi))(x) = ((u s + v t)(\phi))(x)[/mm] fuer alle $x [mm] \in [/mm] V$ gilt (kannst du die Gleichheitszeichen hier nachvollziehen?), dann muss $(u s + v [mm] t)(\phi)$ [/mm] die Identitaet auf $V$ sein.
Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn $u s + v t [mm] \in [/mm] K[X]$ das konstante Polynom $1$ ist (ist dir klar warum das so ist?). Also musst du Polynome $s, t [mm] \in [/mm] K[X]$ suchen so, dass $u s + v t = 1$ ist. Hast du eine Idee, warum das geht und wie du das machst?
LG Felix
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