Polynom < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 01.12.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \IK[z], [/mm] d.h. die Menge der Polynome mit Koeffizienten in einem Körper K, tatsächlich einen K-Vektorraum bildet. |
Muss ich hier alle acht Vektorraumaxiome nachprüfen?
Sollte man hier in SUmmenschreibweise oder in schreibweise der ... arbeiten?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass [mm]\IK[z],[/mm] d.h. die Menge der Polynome mit
> Koeffizienten in einem Körper K, tatsächlich einen
> K-Vektorraum bildet.
> Muss ich hier alle acht Vektorraumaxiome nachprüfen?
Ich denke schon.
> Sollte man hier in SUmmenschreibweise oder in schreibweise
> der ... arbeiten?
Wenn Du es richtig machst, ist das egal
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 01.12.2011 | | Autor: | sissile |
Hallo
Uh, das ist mühseelig. also keinen schnelleren weg?
Es wäre toll wenn die ersten mal weranschaut - weiß nicht ob ich das richtig mache.
p= [mm] p_0 [/mm] + [mm] p_1z+p_2z^2....
[/mm]
q= [mm] q_0 [/mm] + [mm] q_1z+q_2z^2....
[/mm]
[mm] v=v_0 [/mm] + [mm] v_1z+v_2z^2....
[/mm]
laut Definition:
p + q := ( [mm] p_0 +q_0) [/mm] + [mm] (p_1+q_1)z [/mm] + [mm] (p_2+q_2)z^2...
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] p := [mm] (\lambda p_0) [/mm] + [mm] (\lambda p_1)z [/mm] + [mm] (\lambda p_2)z^2 [/mm] ..
V1) Assoziativität der Addition:
(p+q)+v
<=> [mm] ((p_0 [/mm] + [mm] p_1z+p_2z^2....)+(q_0 [/mm] + [mm] q_1z+q_2z^2....)) [/mm] + [mm] (v_0 [/mm] + [mm] v_1 z+v_2 z^2....)
[/mm]
<=>( [mm] (p_0 +q_0) [/mm] + [mm] (p_1+q_1)z [/mm] + [mm] (p_2+q_2)z^2... [/mm] )+ [mm] (v_0 [/mm] + [mm] v_1z+v_2z^2....)
[/mm]
<=>( [mm] (p_0 +q_0)+v_0) [/mm] + ( [mm] (p_1 +q_1)+v_1)z [/mm] +( [mm] (p_2 +q_2)+v_2) z^2..
[/mm]
<=> wegen Assoziativgesetz des Körpers
[mm] ((p_0 +(q_0+v_0)) [/mm] + ( [mm] p_1 +(q_1+v_1))z [/mm] +( [mm] p_2 +(q_2+v_2)) z^2..
[/mm]
<=> [mm] p_0+p_1z+p_2z^2... [/mm] + ( [mm] q_0 +v_0) [/mm] + [mm] (q_1+v_1)z [/mm] + [mm] (q_2+v_2)z^2... [/mm]
<=> [mm] (p_0 [/mm] + [mm] p_1z+p_2z^2....)+((q_0 [/mm] + [mm] q_1z+q_2z^2.... [/mm] )+ [mm] (v_0 [/mm] + [mm] v_1z+v_2z^2....))
[/mm]
=> p + (q+v)
v3)
Additiv inverse
p + (-p)
<=> [mm] (p_0 [/mm] + [mm] p_1z+p_2z^2....) [/mm] + [mm] (-p_0 [/mm] + [mm] -p_1z+-p_2z^2....)
[/mm]
<=> ( [mm] p_0 +-p_0) [/mm] + [mm] (p_1+-p_1)z [/mm] + [mm] (p_2+-p_2)z^2... [/mm]
<=> wegen inverse im Körper
<=> 0 [mm] +0z+0z^2...
[/mm]
=0
V5)
Assoziativität der Multiplikation
[mm] \lambda [/mm] * ( [mm] \mu [/mm] * v)
<=> [mm] \lamda [/mm] * ( [mm] \mu [/mm] * [mm] (v_0 [/mm] + [mm] v_1z+v_2z^2....))
[/mm]
<=> [mm] \lambda [/mm] *( [mm] (\mu [/mm] * [mm] v_0) [/mm] + [mm] (\mu *v_1)z+(\mu *v_2)z^2....)
[/mm]
<=> ( [mm] \lambda(\mu [/mm] * [mm] v_0)) [/mm] + [mm] (\lambda(\mu *v_1))z+(\lambda(\mu *v_2))z^2....
[/mm]
Assoziativität im Körper
<=> ( [mm] (\lambda \mu [/mm] )* [mm] v_0) [/mm] + [mm] ((\lambda \mu) *v_1 [/mm] ) [mm] z+((\lambda \mu )*v_2 [/mm] ) [mm] z^2....
[/mm]
<=> [mm] \lambda [/mm] * [mm] \mu (v_0 [/mm] + [mm] v_1z+v_2z^2....)
[/mm]
=> ( [mm] \lambda [/mm] * [mm] \mu [/mm] ) * v
v7)
Distributivgesetz
[mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu) [/mm] *p
= ( [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu) [/mm] * [mm] (p_0 [/mm] + [mm] p_1z+p_2z^2....)
[/mm]
<=> ( [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] )* [mm] p_0) [/mm] + [mm] ((\lambda [/mm] + [mm] \mu) *p_1 )z+((\lambda [/mm] + [mm] \mu )*p_2)z^2....
[/mm]
<=>
Bin ich mir nicht ganz sicher, wie der nächste Schritt ist! Kann mir da wer helfen?Welche Definition, köperaxiom muss ich anwenden?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du beweist die Gesetze für den Körper gleich mit! das ist unnötig. nach Vors sind deine [mm] \nu [/mm] und [mm] \mu [/mm] aus K also auch [mm] \nu+\mu
[/mm]
du musst nur die Gesetze für einen VR zeigen,
1. Existenz des Nullvektors, 2. VR nicht leer
3. p+q aus V und 4. [mm] \\alpha\in [/mm] K
[mm] \alpha*p \in [/mm] V
was du weiter tus, bezieht sich auf K
also wirklich nur die VR Axiome nachweisen.
(das inverse, -1*p+p ergibt sich dabei weil 0 in V liegt usw.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Do 01.12.2011 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
ABer in der Vorlesung hab ich die acht Vektorraumaxiome gelernt. Habe bei den vorigen Bsp (punktweise addition multiplikation der funktionen, Vektoren..) auch alle acht Vektorraumaxiome zeigen müssen.
Kannst du mir trotzdem bei den einen Axiom im ersten Beitrag helfen? Danke
1. Existenz des Nullvektors
2. VR nicht leer
3. p+q aus V
4. $ [mm] \\alpha\in [/mm] $ K,$ [mm] \alpha\cdot{}p \in [/mm] $ V
1. 0 + 0z + [mm] 0z^2...
[/mm]
Und was soll ich mit dem Nullvektor machen/zeigen?
2. Ja wenn der Vullvektor existiert ist der VR nicht leer.
3)
p + q := ( $ [mm] p_0 +q_0) [/mm] $ + $ [mm] (p_1+q_1)z [/mm] $ + $ [mm] (p_2+q_2)z^2... [/mm] $
wie weiter?
4) $ [mm] \lambda [/mm] $ p := $ [mm] (\lambda p_0) [/mm] $ + $ [mm] (\lambda p_1)z [/mm] $ + $ [mm] (\lambda p_2)z^2 [/mm] $ ..
wie hier wieter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo ;)
> ABer in der Vorlesung hab ich die acht Vektorraumaxiome
> gelernt. Habe bei den vorigen Bsp (punktweise addition
> multiplikation der funktionen, Vektoren..) auch alle acht
> Vektorraumaxiome zeigen müssen.
>
> Kannst du mir trotzdem bei den einen Axiom im ersten
> Beitrag helfen? Danke
>
> 1. Existenz des Nullvektors
> 2. VR nicht leer
> 3. p+q aus V
> 4. [mm]\\alpha\in[/mm] K,[mm] \alpha\cdot{}p \in[/mm] V
>
> 1. 0 + 0z + [mm]0z^2...[/mm]
> Und was soll ich mit dem Nullvektor machen/zeigen?
ganz einfach es gibt das Nullpolynom [mm] p_0=0 [/mm] , du hast es hingeschrieben und es erfüllt für ein beliebiges polynom [mm] p+p_0=p+0=p
[/mm]
> 2. Ja wenn der Vullvektor existiert ist der VR nicht
> leer.
> 3)
> p + q := ( [mm]p_0 +q_0)[/mm] + [mm](p_1+q_1)z[/mm] + [mm](p_2+q_2)z^2...[/mm]
> wie weiter?
[mm] p_i+q_i=a_i \in \IR [/mm] also wieder in V
> 4) [mm]\lambda[/mm] p := [mm](\lambda p_0)[/mm] + [mm](\lambda p_1)z[/mm] + [mm](\lambda p_2)z^2[/mm]
> ..
> wie hier wieter?
wegen [mm] \lambda*p_i=a_i [/mm] wieder in V
du musst doch nur zeigen dass die Summe usw. von 2 polynomen wieder eines ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 01.12.2011 | | Autor: | sissile |
> > Kannst du mir trotzdem bei den einen Axiom im ersten
> Beitrag helfen? Danke
!!! ;) !!!
also einfach so :
p + q = ( $ [mm] p_0 +q_0) [/mm] $ + $ [mm] (p_1+q_1)z [/mm] $ + $ [mm] (p_2+q_2)z^2... [/mm] $
$ [mm] p_i+q_i=a_i \in \IR [/mm] $
[mm] <=>a_0 [/mm] $ + $ [mm] a_1 [/mm] z $ + $ [mm] (a_2z^2)... \in [/mm] V
Gut ich hätte noch eine Frage:
Zeige weiters, dass die
Multipikation von Polynomen folgende Eigenschaft besitzt:
p*q = q*p
p*q= [mm] p_0 q_0 [/mm] + [mm] (p_0 q_1 [/mm] + [mm] p_1q_0)z [/mm] + [mm] (p_0q_2 [/mm] + [mm] p_1q_1 [/mm] + [mm] p_2q_0)z^2..
[/mm]
<=> kommutativität der Multiplikation
[mm] q_0 p_0 [/mm] + [mm] (q_1 p_0 [/mm] + [mm] q_0 p_1)z [/mm] + [mm] (q_2 p_0 [/mm] + [mm] q_1 p_1 [/mm] + [mm] q_0 p_2)z^2..
[/mm]
<=> Kommutativität der Addition
[mm] q_0 p_0 [/mm] + [mm] (q_0 p_1+q_1 p_0 [/mm] )z + ( [mm] q_0 p_2 +q_1 p_1 +q_2 p_0)z^2..
[/mm]
= q*p
mit Der SUmmenschreibweise komme ich nicht ganz klar.:
pq= [mm] \sum_i p_i z^i [/mm] * [mm] \sum_j q_j z^j
[/mm]
<=> [mm] \sum_l (\sum_{l=j+i} p_i q_j [/mm] ) [mm] z^l
[/mm]
<=> [mm] \sum_l (\sum_{l=j+i} q_i p_j [/mm] ) [mm] z^l
[/mm]
<=> [mm] \sum_j q_j z^j* \sum_i p_i z^i [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
prinzipiell ist dein vorgehen richtig, da aber p und q ja verscheidenen Rang haben können, must du das letzte Glied bei den Pünktchen, und die Grenze bei den summen hinschreiben.
und fesstellen dass es sich um ein polynom n+mten grades handelt wenn die einzelnen nten und mten grades sind.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Do 01.12.2011 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
> prinzipiell ist dein vorgehen richtig, da aber p und q ja verscheidenen Rang >haben können, must du das letzte Glied bei den Pünktchen, und die Grenze >bei den summen hinschreiben.
Haben wir in der Vorlesung auch nicht gemacht. Da haben wir nähmlich die Assoziativität der Multiplikation dreier Polynome bewiesen .
1 = 1 + 0z + [mm] 0z^2 [/mm] + · · ·ist das Einspolynom
wie sieht das Einspolynom in Summenschreibweise aus?
da ich zeigen muss 1 *p = 1
Die ...Pünktchen schreibweise hab ich, aber ich weiß nicht genau die summenschreibweise, da es ja schließlich nur die 1 ist!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
ob du ne summe von 0 bis 0 schreibst oder gleich 1 ist nur 1 zu schreiben besser.!
du schreibst einfach p=1
ebenso wie für das 0 polynom [mm] p_0=0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 01.12.2011 | | Autor: | sissile |
danke ;)
Jetzt brauch ich aber wirklich noch Hilfe beim beweisen des Axioms im ersten Post!
Liebe grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was fehlt da noch?
bei allem was du tust, kommst du immer wieder auf polynome nur haben die Koeefizienten andere namen also statt [mm] p_i [/mm] oder [mm] q_i [/mm] eben [mm] a_i=p_i+q_i [/mm] und dass das wieder Koeffizienten aus dem koeffizeintenkörper sind ist doch klar.
gruss leduart
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