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Forum "Steckbriefaufgaben" - Polynom 2. Grades bestimmen.
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Polynom 2. Grades bestimmen.: Der richtige Weg?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Mo 10.10.2011
Autor: PeterLee

Aufgabe
Welches Polynom zweiten Grades hat mit der Sinusfunktion f(x) = sin(x), x [mm] \in [0,\pi [/mm] ], den Scheitenpunkt und die Schnittpunkte mit der x Achse gemeinsam?

Okay... ich hätte hier meine Lösungsansatz, doch recht schnell drehe ich mich im Kreis... vielleicht weiss ja jemand einen Ausweg.

f(x) = sin(x)

Nst: [mm] x_{1}: [/mm] (0,0), [mm] x_{2}: (\pi, [/mm] 0), Scheitelpunkt S: [mm] (\pi/2, [/mm] 1)

Nun habe das Polynom 2. Grades aufgestellt:

y= [mm] ax^2 [/mm] + bx+c

Einsetzen erste NST:

0= c --> neues Polynom : y= [mm] ax^2+bx [/mm]

So nun habe ich die 2. Nullstelle eingesetzt --> Ergebnis:

0= [mm] \pi^2*a [/mm] + [mm] \pi [/mm] *b

Wie muss ich denn nun weitermachen?
Ich weiss, dass der Scheitelpunkt der selbe sein muss und dass der Scheitelpunkt ein Extremum (Max) sein muss.

Also:

y´(x) = 2ax+b --> x= - [mm] \bruch{b}{2a} [/mm]

Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter... ich hoffe doch es ist nur eine Denkblockade und kein schwerer Fehler ;)

        
Bezug
Polynom 2. Grades bestimmen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Mo 10.10.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Welches Polynom zweiten Grades hat mit der Sinusfunktion
> f(x) = sin(x), x [mm]\in [0,\pi[/mm] ], den Scheitenpunkt und die
> Schnittpunkte mit der x Achse gemeinsam?
>  Okay... ich hätte hier meine Lösungsansatz, doch recht
> schnell drehe ich mich im Kreis... vielleicht weiss ja
> jemand einen Ausweg.
>  
> f(x) = sin(x)
>
> Nst: [mm]x_{1}:[/mm] (0,0), [mm]x_{2}: (\pi,[/mm] 0), Scheitelpunkt S:
> [mm](\pi/2,[/mm] 1)

Richtig.

>  
> Nun habe das Polynom 2. Grades aufgestellt:
>  
> y= [mm]ax^2[/mm] + bx+c
>  
> Einsetzen erste NST:
>
> 0= c --> neues Polynom : y= [mm]ax^2+bx[/mm]
>  
> So nun habe ich die 2. Nullstelle eingesetzt --> Ergebnis:
>  
> 0= [mm]\pi^2*a[/mm] + [mm]\pi[/mm] *b
>  
> Wie muss ich denn nun weitermachen?
> Ich weiss, dass der Scheitelpunkt der selbe sein muss und
> dass der Scheitelpunkt ein Extremum (Max) sein muss.

Auch alles richtig.

>  
> Also:
>  
> y´(x) = 2ax+b --> x= - [mm]\bruch{b}{2a}[/mm]
>  
> Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter... ich hoffe doch es
> ist nur eine Denkblockade und kein schwerer Fehler ;)

Du musst für x nur noch die entsprechende Stelle einsetzen, an der die Steigung null sein soll. Dann bekommst Du eine zweite Gleichung für zwei Unbekannte.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Polynom 2. Grades bestimmen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Mo 10.10.2011
Autor: PeterLee

Okay...
der Punkt wo die Steigung 0 ist ist ja die Ableitung= 0

Also einsetzen in die Ableitung:

0= 2a *- [mm] \bruch{b}{2a}+b [/mm]

Dann kann man ja 2a kürzen und es bleibt 0= -b + b und das gibt 0.

Ehrlichgesagt war ich vorher schon soweit, aber das kann ja nicht sein, oder?

Eigentlich müsste ich eine Gleichung mit den Unbekannten a und b rausbekommen, um dort dann in einnem 2er Gleicungssystem a und b zu berechnen?

Bezug
                        
Bezug
Polynom 2. Grades bestimmen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Mo 10.10.2011
Autor: notinX


> Okay...
> der Punkt wo die Steigung 0 ist ist ja die Ableitung= 0
>
> Also einsetzen in die Ableitung:
>
> 0= 2a *- [mm]\bruch{b}{2a}+b[/mm]
>  
> Dann kann man ja 2a kürzen und es bleibt 0= -b + b und das
> gibt 0.
>  
> Ehrlichgesagt war ich vorher schon soweit, aber das kann ja
> nicht sein, oder?
>
> Eigentlich müsste ich eine Gleichung mit den Unbekannten a
> und b rausbekommen, um dort dann in einnem 2er
> Gleicungssystem a und b zu berechnen?

Setze in diese Gleichung:

>  
> y´(x) = 2ax+b --> x= - $ [mm] \bruch{b}{2a} [/mm] $
>  

den entsprechenden x-Wert ein, an dem die Steigung =0 sein soll (heißer Tipp: Der ist nicht 0). Dann bekommst Du auch die gewünschte Gleichung.

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