Polynom 3tG lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 20.01.2009 | | Autor: | tmjack |
| Aufgabe | Sei P3 der Vektorraum reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 3.
Zeigen Sie, das die Abbildung l: P3 -> P3, mit L(p(x)) = p(x) - x * p´(x)
eine lineare Abbildung ist.
Anmerkung:
p(x) = [mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
p´(x) = [mm] ax^2+bx+c [/mm]
p´(x) ist die Ableitung von p(x) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So ich habe jetzt mal einfach eingesetzt und ausgerechnet.
p(x) = p(x) - x * p´(x)
[mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] = [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] - (x * [mm] ax^2+bx+c)
[/mm]
[mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] = [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] - [mm] ax^3-bx^2-cx
[/mm]
[mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] = d
Nur jetzt weiss ich nicht weiter, für mich wäre es ein Beweis wenn d = d stehen würde.
Danke für eure Antworten schon mal.
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Hallo tmjack und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sei P3 der Vektorraum reellen Polynome vom Grad kleiner
> gleich 3.
> Zeigen Sie, das die Abbildung l: P3 -> P3, mit L(p(x)) =
> p(x) - x * p´(x)
> eine lineare Abbildung ist.
> Anmerkung:
> p(x) = [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> p´(x) = [mm]ax^2+bx+c[/mm]
> p´(x) ist die Ableitung von p(x)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> So ich habe jetzt mal einfach eingesetzt und
> ausgerechnet.
>
> p(x) = p(x) - x * p´(x)
>
> [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] = [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] - (x * [mm]ax^2+bx+c)[/mm]
>
> [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] = [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] - [mm]ax^3-bx^2-cx[/mm]
>
> [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] = d
>
> Nur jetzt weiss ich nicht weiter, für mich wäre es ein
> Beweis wenn d = d stehen würde.
Tut mir leid, aber das ist überhaupt kein Beweis.
Weißt du, was du zeigen musst?
Was heißt es für eine Abbildung [mm] $L:P_3\to P_3$ [/mm] linear zu sein?
Doch zweierlei:
(1) Für beliebige $p(x), [mm] q(x)\in P_3$ [/mm] gilt $L(p(x)+q(x))=L(p(x))+L(q(x))$
(2) Für alle [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und für beliebiges [mm] $p(x)\in P_3$ [/mm] gilt [mm] $L(\lambda\cdot{}p(x))=\lambda\cdot{}L(p(x))$
[/mm]
Nimm dir also beliebige [mm] $p(x)=a_1x^3+b_1x^2+c_1x+d_1$ [/mm] und [mm] $q(x)=a_2x^3+b_2x^2+c_2x+d_2$ [/mm] her und rechne (1) nach
[mm] $L(p(x)+q(x))=L((a_1x^3+b_1x^2+c_1x+d_1)+(a_2x^3+b_2x^2+c_2x+d_2)=L((a_1+a_2)x^3+(b_1+b_2)x^2+(c_1+c_2)x+(d_1+d_2))=......$
[/mm]
weiter umformen, die Definition von L benutzen, bis du $....=L(p(x))+L(q(x))$ dastehen hast
Bei (2) ähnlich, nimm dir ein beliebiges [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] her und ein [mm] $p(x)\in P_3$ [/mm] (wie oben), dann rechne es ebenso nach
> Danke für eure Antworten schon mal.
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:20 Do 22.01.2009 | | Autor: | tmjack |
Soll ich für a1,a2,b1,b2,c1,c2 oder für x beliebige Zahlenwerte wählen?
So weit wie du umgeformt hast das habe ich verstanden, nur wie soll ich die L definition anwenden es würde doch für L(p(x)) = d raus kommen und das müsste ich dann einsetzten das d oder?
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> Soll ich für a1,a2,b1,b2,c1,c2 oder für x beliebige
> Zahlenwerte wählen?
Hallo,
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Natürlich sollst Du das nicht tun!.
> So weit wie du umgeformt hast das habe ich verstanden, nur
> wie soll ich die L definition anwenden es würde doch für
> L(p(x)) = d raus kommen und das müsste ich dann einsetzten
> das d oder?
Sie meinen?
Vielleicht schreibst Du mal auf, wie weit Du bist.
Komplett.
Mit "zu zeigen:..." und allem Drum und Dran.
Denn hier geht's ja nicht in erster Linie um irgendwelche läppischen Rechenschritte, sondern ums Verständnis der Linearität.
Gruß v. Angela
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