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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 So 09.12.2007 | | Autor: | Luuly |
Hallo,
Mit folgender Aufgabe komme ich nicht klar:
Sei [mm] a\in [/mm] K[X] ein Polynom und (a) bezeichne das von a erzeugte Hauptideal. Zeige:
(i), Wenn deg(a) = [mm] n\ge [/mm] 1, dann bilden die Polynome b mit deg(b) <n einen Schnitt für den Faktorring K[X]/(a)
(ii), Wenn [mm] a\in [/mm] K[X] ein irreduzibles Polynom ist, dann ist K[X]/(a) ein Körper.
Für einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
LG
Luuly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Mo 10.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
was hattest du bisher für ansätze?
> Sei [mm]a\in[/mm] K[X] ein Polynom und (a) bezeichne das von a
> erzeugte Hauptideal. Zeige:
> (i), Wenn deg(a) = [mm]n\ge[/mm] 1, dann bilden die Polynome b mit
> deg(b) <n einen Schnitt für den Faktorring K[X]/(a)
was versteht ihr unter einem "schnitt eines faktorrings"? wenn es ein repräsentatntensystem der restklassen ist, dann überlege dir, dass man mithilfe von division mit rest durch $a$ stets einen geeigneten repräsentanten der restklasse findet.
> (ii), Wenn [mm]a\in[/mm] K[X] ein irreduzibles Polynom ist, dann
> ist K[X]/(a) ein Körper.
>
weißt du schon, dass für ein maximales ideal [mm] $\mathfrak{m}$ [/mm] eines ringes $R$ der quotient [mm] $R/\mathfrak{m}$ [/mm] stets einen körper bildet? überlege dir, dass für irreduzibles $a$ das ideal $(a)$ maximal ist. nimm also an es gäbe ein (b) mit $(a) [mm] \subseteq [/mm] (b) [mm] \subseteq [/mm] K[X]$ ($K[X]$ ist hauptidealring). dann gibt es ein $c [mm] \in [/mm] K[X]$ mit $a = bc$. nun ist $a$ aber irreduzibel. was folgt daraus?
grüße
andreas
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