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Forum "Interpolation und Approximation" - Polynom, Stützstellen
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Polynom, Stützstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Do 30.04.2009
Autor: itse

Aufgabe
Folgende Werte sind gegeben:

(5,4); (7,1); (2,6)

entwickeln sie daraus ein Polynom, dass die geforderten Stützstellen enthält.

Hallo Zusammen,

ich habe das ganze über das Interpolationspolynom von Newton gemacht, als Erstes die Gleichung aufgestellt:

f(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] (x-5) + [mm] a_2 [/mm] (x-5)(x-7)

Danach das Differenzschema gebildet und für die Koeffizienten folgende Werte erhalten:

[mm] a_0 [/mm] = 4

[mm] a_1 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm]

[mm] a_2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6} [/mm]

Dies nun in die Gleichung oben einsetzen:

y = 4 [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] (x-5) [mm] -\bruch{1}{6} [/mm] (x-5)(x-7)

Danach das Ganze ausmultiplizieren und ich erhalte: y = [mm] -\bruch{1}{6}x²+\bruch{1}{2}x+\bruch{17}{3} [/mm]

Dies müsste soweit auch stimmen.

Jedoch hatten wir in der Vorlesung einen anderen Ansatz und zwar:

f(x) = a(x-5)(x-7) + b (x-5)(x-2) + c (x-7)(x-2)

Nun setzt man der Reihe nach die Sützstellen und Stützwerte ein und erhält für die Koeffizienten:

a= [mm] -\bruch{2}{3} [/mm]

b = [mm] \bruch{1}{10} [/mm]

c = [mm] \bruch{6}{15} [/mm]

Dies nun wieder eingesetzt: f(x) = [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] (x-5)(x-7) + [mm] \bruch{1}{10} [/mm] (x-5)(x-2) +  [mm] \bruch{6}{15} [/mm] (x-7)(x-2)

Wenn man dies nun ausmultipliziert erhält man genau das selbe Ergebnis, wie über das Interpolationspolynom von Newton.

Mich würde interessieren, ob dieser Ansatz:

f(x) = a(x-5)(x-7) + b (x-5)(x-2) + c (x-7)(x-2)

immer Gültigkeit hat und vor allem wie dieser Ansatz heisst? Wo finde ich etwas dazu? In der Literatur finde ich nur den Ansatz von Newton, Lagrange.
Gruß
itse

        
Bezug
Polynom, Stützstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Do 30.04.2009
Autor: angela.h.b.


> Folgende Werte sind gegeben:
>  
> (5,4); (7,1); (2,6)
>  
> entwickeln sie daraus ein Polynom, dass die geforderten
> Stützstellen enthält.
>  Hallo Zusammen,
>  
> ich habe das ganze über das Interpolationspolynom von
> Newton gemacht, als Erstes die Gleichung aufgestellt:
>  
> f(x) = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] (x-5) + [mm]a_2[/mm] (x-5)(x-7)
>  
> Danach das Differenzschema gebildet und für die
> Koeffizienten folgende Werte erhalten:
>  
> [mm]a_0[/mm] = 4
>  
> [mm]a_1[/mm] = [mm]-\bruch{3}{2}[/mm]
>  
> [mm]a_2[/mm] = [mm]-\bruch{1}{6}[/mm]
>  
> Dies nun in die Gleichung oben einsetzen:
>  
> y = 4 [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] (x-5) [mm]-\bruch{1}{6}[/mm] (x-5)(x-7)
>  
> Danach das Ganze ausmultiplizieren und ich erhalte: y =
> [mm]-\bruch{1}{6}x²+\bruch{1}{2}x+\bruch{17}{3}[/mm]
>  
> Dies müsste soweit auch stimmen.
>  
> Jedoch hatten wir in der Vorlesung einen anderen Ansatz und
> zwar:
>  
> f(x) = a(x-5)(x-7) + b (x-5)(x-2) + c (x-7)(x-2)
>  
> Nun setzt man der Reihe nach die Sützstellen und Stützwerte
> ein und erhält für die Koeffizienten:
>  
> a= [mm]-\bruch{2}{3}[/mm]
>  
> b = [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>  
> c = [mm]\bruch{6}{15}[/mm]
>  
> Dies nun wieder eingesetzt: f(x) = [mm]-\bruch{2}{3}[/mm] (x-5)(x-7)
> + [mm]\bruch{1}{10}[/mm] (x-5)(x-2) +  [mm]\bruch{6}{15}[/mm] (x-7)(x-2)
>  
> Wenn man dies nun ausmultipliziert erhält man genau das
> selbe Ergebnis, wie über das Interpolationspolynom von
> Newton.

Hallo,

das ist schonmal beruhigend, denn das Interpolationspolynom (hier: vom Grad 2) ist ja eindeutig.

>  
> Mich würde interessieren, ob dieser Ansatz:
>  
> f(x) = a(x-5)(x-7) + b (x-5)(x-2) + c (x-7)(x-2)
>  
> immer Gültigkeit hat

Ja, der muß ja funktionieren, weil für jede eingesetze Stützstelle immer zwei der Summanden=0 werden.


> und vor allem wie dieser Ansatz
> heisst? Wo finde ich etwas dazu? In der Literatur finde ich
> nur den Ansatz von Newton, Lagrange.

Ob das einen eigenen Namen hat, wage ich zu bezweifeln.
Ich würde das unter Lagrange verbuchen, denn Deine Polynome (x-5)(x-7), (x-5)(x-2),  (x-7)(x-2)  sind ja Vielfache der Lagrangepolynome, und der Gedanke ist völlig gleich.

Gruß v. Angela

Gruß v. Angela


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