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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Nilfi |
Hallo,
Sei p: [mm] \IR \to \IR [/mm] ein Polynom n-ten Grades, mit n ungerade. Zeigen Sie, dassp mindestens eine Nullstelle hat, also ein [mm] x_{0} \in \IR [/mm] existiert mit [mm] P(x_{0}) [/mm] = 0.
Ich hab mir folgendes überlegt.
Da f(x) = x stetig ist, und f*g stetig ist, für f,g sind stetige Funktionen
=> h(x) = [mm] x^n [/mm] ist stetig.
Da ausserdem gilt: f+g ist stetig für f,g sind stetige Funktionen
=> p(x) = [mm] a_{n}x^n +a_{n-1}x^n-1 [/mm] + ...+ [mm] a_{0} [/mm] ist stetig, denn jeder Summand ist als Funktion stetig.
Nun ist noch zu zeigen, dass p(x) die x-Achse schneidet.
Also im Grunde muss ich zeigen, dass p weder eine obere Schranke, noch ein untere Schranke besitzt. Oder?
Aber hier fehlt mir ein Ansatz.
Gruß nilfi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nilfi!
Betrachte die Grenzwerte für [mm] $x\rightarrow\red{-}\infty$ [/mm] sowie [mm] $x\rightarrow\red{+}\infty$ [/mm] .
Und dann noch den Zwischenwertsatz im Hinterkopf ... 
Gruß
Loddar
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