Polynom,Vandermonde-Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, [mm] x_0, [/mm] .., [mm] x_n \in \IK [/mm] paarweise verschieden und [mm] y_0,..,y_n \in \IK [/mm] beliebig. Dann existiert ein eindeutiges Polynom p [mm] \in K[z]_{\le n} [/mm] so dass [mm] p(x_i) =y_i [/mm] für alle i=0,..,n. Insbesondere besitzt jedes nicht triviaöe Polynom n-ten Grades, höchstens n verschiedene Nullstellen in [mm] \IK. [/mm] Daraüberhinaus ist die sogenannte Vandermonde-Matrix invertierbar. |
Beweis (skriptum)
Für das Polynom
[mm] p:=\summe_{i=0}^{n} \frac{y_i (z-x_0)*(z-x_1)....(z-x_{i-1})(z-x_{i+1})...(z-x_n)}{(x_i-x_0)*(x_i-x_1)....(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})...(x_i-x_n)}
[/mm]
> Frage: Ist das ein spezielles Polynom, oder kann man alle Polynome so schreiben?
gilt offensichtlich [mm] p(x_i)=y_i, [/mm] i=0,...,n.
Die Abbildung ist daher
[mm] \phi: \IK[z]_{\le n} [/mm] -> [mm] \IK^{n+1}, \phi [/mm] (p) := [mm] \vektor{p(x_0) \\ \vdots \\ p(x_n)} [/mm] ist also surjektiv und linear.
> Woher sehen wir die Surjektivität aus dem Geschriebenen?
Da [mm] dim(\IK[z]_{\le n})=n+1 [/mm] und dim [mm] (\IK^{n+1}, [/mm] )= n+1 ist [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus. Die Injektvität bedeutet gerade das Polynom ist durch seine Werte [mm] p(x_0),..,p(x_n) [/mm] eindeutige bestimmt.
> Ja verstehe ich.
Bezeichnet [mm] E=(e_0,..,e_n) [/mm] die Standardbasis von [mm] \IK^{n+1} [/mm] und [mm] B={1,z,z^2,...,z^n} [/mm] die Basis der Monome in [mm] \IK[z]_{\le n} [/mm] dann gilt offenbar
[mm] [\phi]_{EB} =\pmat{ 1 & x_0 &x_0^2&...&x_0^n \\ 1 & x_1 &x_1^2&...&x_1^n\\ \vdots&\vdots&\vdots & ... & \vdots\\ 1 & x_n &x_n^2&...&x_n^n}
[/mm]
> Wie kommt man denn darauf?? Ich schaue doch den ersten Basisvektor 1 an und Werte ihn [mm] \phi(1) =\vektor{1(x_0) \\ \vdots \\ 1(x_n)} [/mm] aus. Oder wie?
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> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, [mm]x_0,[/mm] .., [mm]x_n \in \IK[/mm] paarweise
> verschieden und [mm]y_0,..,y_n \in \IK[/mm] beliebig. Dann existiert
> ein eindeutiges Polynom p [mm]\in K[z]_{\le n}[/mm] so dass [mm]p(x_i) =y_i[/mm]
> für alle i=0,..,n. Insbesondere besitzt jedes nicht
> triviaöe Polynom n-ten Grades, höchstens n verschiedene
> Nullstellen in [mm]\IK.[/mm] Daraüberhinaus ist die sogenannte
> Vandermonde-Matrix invertierbar.
> Beweis (skriptum)
> Für das Polynom
> [mm]p:=\summe_{i=0}^{n} \frac{y_i (z-x_0)*(z-x_1)....(z-x_{i-1})(z-x_{i+1})...(z-x_n)}{(x_i-x_0)*(x_i-x_1)....(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})...(x_i-x_n)}[/mm]
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> > Frage: Ist das ein spezielles Polynom, oder kann man alle
> Polynome so schreiben?
> gilt offensichtlich [mm]p(x_i)=y_i,[/mm] i=0,...,n.
Hallo,
Du hast hier (also in Deinem Satz) n+1 Punkte [mm] P_i(x_i|y_i) [/mm] vorgegeben, und nun wird behauptet, daß es genau ein Polynom vom Höchstgrad n gibt, auf dessen Graphen diese n Punkte liegen.
Zu zeigen ist die Existenz und Eindeutigkeit des Polynoms.
Die Existenz zeigen Dir Deine Chefs, indem sie ein Polynom, welches genau diese Eigenschaft hat, aus dem Hute zaubern. Hast Du's ausprobiert, ob wirklich die n Punkte drauf liegen? Das Polynom ist nämlich raffiniert gebastelt. (Lagrange-Polynom. Wird Dir in der numerischen Mathematik wiederbegegnen.)
Deine Frage ging also etwas am Kern der Sache vorbei.
> Die Abbildung ist daher
> [mm]\phi: \IK[z]_{\le n}[/mm] -> [mm]\IK^{n+1}, \phi[/mm] (p) :=[mm]\vektor{p(x_0) \\
\vdots \\
p(x_n)}[/mm]
Huch. Hier fällt aber jemand mit der Tür ins Haus: "Die Abbildung ist daher"... Welche Abbildung bitteschön?
Ich hoffe, daß das nicht so im Skript steht, sondern nur durch Deine Zusammenfassung oder Nacherzählung entstanden ist...
> Die Abbildung ist daher
> [mm]\phi: \IK[z]_{\le n}[/mm] -> [mm]\IK^{n+1}, \phi[/mm] (p) :=
> [mm]\vektor{p(x_0) \\
\vdots \\
p(x_n)}[/mm] ist also surjektiv und linear.
Was geschieht hier?
Gezeigt werden soll ja, nachdem seine bereits Existenz geklärt ist, daß das Polynom mit der geforderten Eigenschaft eindeutig bestimmt ist.
Dazu wird die Abbildung [mm] \phi [/mm] wie oben definiert.
Einem jedem Polynom q vom Höchstgrad n weist sie den Vektor zu, der "gestapelt" die Funktionswerte von q an den zuvor festgelegten pw verschiedenen Stellen [mm] x_0,...,x_n [/mm] enthält.
> > Woher sehen wir die Surjektivität aus dem
> Geschriebenen?
Nun, wir müssen dazu erkennen, daß es zu jedem beliebigen Vektor [mm] \vektor{y_0\\\vdots\\y_n}\in K^{n+1} [/mm] ein passendes Polynom p gibt, so daß [mm] \phi(p)=\vektor{y_0\\\vdots\\y_n} [/mm] gilt.
Diese Eigenschaft hat doch gerade das oben vorgestellte Polynom!
> Da [mm]dim(\IK[z]_{\le n})=n+1[/mm] und dim [mm](\IK^{n+1},[/mm] )= n+1 ist
> [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus. Die Injektvität bedeutet gerade
> das Polynom ist durch seine Werte [mm]p(x_0),..,p(x_n)[/mm]
> eindeutige bestimmt.
> > Ja verstehe ich.
> Bezeichnet [mm]E=(e_0,..,e_n)[/mm] die Standardbasis von [mm]\IK^{n+1}[/mm]
> und [mm]B=\{1,z,z^2,...,z^n\}[/mm] die Basis der Monome in [mm]\IK[z]_{\le n}[/mm]
> dann gilt offenbar
> [mm][\phi]_{EB} =\pmat{ 1 & x_0 &x_0^2&...&x_0^n \\
1 & x_1 &x_1^2&...&x_1^n\\
\vdots&\vdots&\vdots & ... & \vdots\\
1 & x_n &x_n^2&...&x_n^n}[/mm]
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> > Wie kommt man denn darauf?? Ich schaue doch den ersten
> Basisvektor 1 an und Werte ihn [mm]\phi(1) =\vektor{1(x_0) \\
\vdots \\
1(x_n)}[/mm]
> aus. Oder wie?
Genau so, wie Du sagst.
[mm] [\phi]_{EB} [/mm] ist die Matrix, die die Abbildung [mm] \phi [/mm] in Koordinaten bzgl. B im Start- und bzgl E im Zielraum beschreibt. In ihren Spalten enthält sie die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl E.
LG Angela
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