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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Polynom als Linearkombination
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Polynom als Linearkombination: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Fr 24.10.2008
Autor: stefan00

Aufgabe
Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2 über [mm] \IR. [/mm]
Sei p1 = [mm] 2T^2 [/mm] + T + 1, p2 = [mm] 4T^2 [/mm] + T, p3 = -2 [mm] T^2 [/mm] + 2T + 1.
Schreiben Sie das Polynom [mm] 5T^2 [/mm] − 11T + 7 als Linearkombination der Polynome
[mm] p_{1}, p_{2}, p_{3}. [/mm]
Hinweis: Die inverse Matrix zu [mm] \pmat{ 2 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] ist [mm] \pmat{ \bruch{1}{8} & \bruch{-1}{2} & \bruch{5}{4} \\ \bruch{1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-3}{4} \\ \bruch{-1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{4} } [/mm]

Mein Ansatz war [mm] ap_{1} [/mm] + [mm] bp_{2} [/mm] + [mm] cp_{3} [/mm] = [mm] 5T^2-11T+7, [/mm] also
[mm] a(2T^2+T+1)+b(4T^2+T)+c(-2 T^2+2T+1)=5T^2-11T+7, [/mm] von diesem Gleichungssystem eine Matrix aufzustellen. Und dann die inverse Matrix dazu zu nutzen, die Variablen a, b und c zu lösen, aber das gelingt mir nicht, wenn ich die Probe mache. Kann mir jemand sagen, wie ich beginnen soll?

Besten Dank, Gruß, Stefan.

        
Bezug
Polynom als Linearkombination: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Fr 24.10.2008
Autor: angela.h.b.


> Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 2 über [mm]\IR.[/mm]
>  Sei p1 = [mm]2T^2[/mm] + T + 1, p2 = [mm]4T^2[/mm] + T, p3 = -2 [mm]T^2[/mm] + 2T +
> 1.
>  Schreiben Sie das Polynom [mm]5T^2[/mm] − 11T + 7 als
> Linearkombination der Polynome
>  [mm]p_{1}, p_{2}, p_{3}.[/mm]
>  Hinweis: Die inverse Matrix zu
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm] ist [mm]\pmat{ \bruch{1}{8} & \bruch{-1}{2} & \bruch{5}{4} \\ \bruch{1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-3}{4} \\ \bruch{-1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{4} }[/mm]
>  
> Mein Ansatz war [mm]ap_{1}[/mm] + [mm]bp_{2}[/mm] + [mm]cp_{3}[/mm] = [mm]5T^2-11T+7,[/mm]
> also
>  [mm]a(2T^2+T+1)+b(4T^2+T)+c(-2 T^2+2T+1)=5T^2-11T+7,[/mm] von
> diesem Gleichungssystem eine Matrix aufzustellen.

Hallo,

die Idee ist doch schonmal gut.

Sortiere jetzt erstmal nach Potenzen von T, also so

[mm] (...)T^2+(...)T+(...)*1=5T^2-11T+7, [/mm]

das liefert Dir ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen a,b,c , von welchen Du dann wie geplant die Koeffizientenmatrix aufstellen kannst.

Gruß v. Angela


Und dann

> die inverse Matrix dazu zu nutzen, die Variablen a, b und c
> zu lösen, aber das gelingt mir nicht, wenn ich die Probe
> mache. Kann mir jemand sagen, wie ich beginnen soll?
>  
> Besten Dank, Gruß, Stefan.


Bezug
                
Bezug
Polynom als Linearkombination: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Fr 24.10.2008
Autor: stefan00

Hallo,

> [mm](...)T^2+(...)T+(...)*1=5T^2-11T+7,[/mm]

ja, das habe ich gemacht:
[mm] (2a+4b-2c)T^2 [/mm] + (a+b+2c)T + (a+c) = [mm] 5T^2-11T+7 [/mm]
ok, als Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{2 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1} \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -11 \\7} [/mm]

wie muss ich jetzt die Inverse anwenden, das ist mir nicht geglückt:
[mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = $ [mm] \pmat{ \bruch{1}{8} & \bruch{-1}{2} & \bruch{5}{4} \\ \bruch{1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-3}{4} \\ \bruch{-1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{4} } [/mm] $ [mm] \vektor{5 \\ -11 \\7}? [/mm]

Denn wenn ich das jetzt berechne und die Probe rechne komme ich nicht auf das richtige Ergebnis, wo liege ich falsch?

Vielen Dank.
Gruß, Stefan.

Bezug
                        
Bezug
Polynom als Linearkombination: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Fr 24.10.2008
Autor: XPatrickX

Hey,

vom Prinzip her hast du alles richtig gemacht!
Was bekommst du denn als Ergebnis raus?

Gruß Patrick

Bezug
                                
Bezug
Polynom als Linearkombination: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:18 Sa 25.10.2008
Autor: stefan00

Hallo,

> vom Prinzip her hast du alles richtig gemacht!
>  Was bekommst du denn als Ergebnis raus?

ok, ist ja schon mal was, ich komme auf folgendes Ergebnis:

[mm] \vektor{\bruch{119}{8} \\ \bruch{-11}{8} \\ \bruch{-63}{8}} [/mm]

Wenn ich das nun in [mm] (2a+4b-2c)T^2 [/mm] + (a+b+2c)T + (a+c) = [mm] 5T^2-11T+7 [/mm] einsetze, ergibt das
[mm] (\bruch{238}{8} [/mm] - [mm] \bruch{44}{8} [/mm] + [mm] \bruch{126}{8})T^2 [/mm] ... das ist schon [mm] 40T^2, [/mm] ergibt also schon das falsche Ergebnis, oder habe ich was übersehen?

Vielen Dank,
Gruß, Stefan.

Bezug
                                        
Bezug
Polynom als Linearkombination: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Sa 25.10.2008
Autor: stefan00


> Wenn ich das nun in [mm](2a+4b-2c)T^2[/mm] + (a+b+2c)T + (a+c) =
> [mm]5T^2-11T+7[/mm] einsetze, ergibt das
>  [mm](\bruch{238}{8}[/mm] - [mm]\bruch{44}{8}[/mm] + [mm]\bruch{126}{8})T^2[/mm] ...
> das ist schon [mm]40T^2,[/mm] ergibt also schon das falsche
> Ergebnis, oder habe ich was übersehen?

offensichtlich habe ich mich verrechnet, shit Bruchrechnung ;) jetzt stimmts, vielen Dank an euch alle.
Gruß, Stefan.


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