Polynom diagonaler Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen.
Sitz grad über meiner Linearen Algebra - Klausurvorbereitung. Da hab ich nun ne Aufgabe und ich kann mir keinen Reim drauf machen.
Vielleicht weiß jemand das was:
Sei p(z) = [mm] \summe_{i=1}^{k} a_{i} z^{i} [/mm] ein Polynom mit [mm] a_{i} \in \IC.
[/mm]
Zu beweisen: Ist A diagonalisierbar, so ist auch p(A) diagonalisierbar.
Nun, wie komme ich auf die Matrix A?
kann mir grad nicht vorstellen, wie diese aussieht.
Diagonalisierbarkeit an Matrizen ist soweit klar. Aufstellen einer Diagonalmatrix mit den Eigenwerten in der Diagonalen.
Und nun?
Steh dann auf dem Schlauch....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es sei $U$ eine unitäre Matrix mit
$U^HAU=D$,
wobei $D$ eine Diagonalmatrix sei.
Wegen [mm] $UU^H=E_n$ [/mm] gilt offenbar:
[mm] $(U^HAU)^i [/mm] = U^HA^iU$ für alle $i [mm] \in \IN$
[/mm]
(könnte man auch mit vollständiger Induktion zeigen)
und daher auch:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^k a_i (U^HAU)^i [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^k [/mm] U^HA^iU = [mm] U^H \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^k A^i \right) \cdot [/mm] U$.
Wir erhalten also:
[mm] $U^H [/mm] p(A) U$
$= [mm] U^H \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n a_i A^i \right) \cdot [/mm] U$
$= [mm] \sum\limits_{i=1}^n a_i (U^HAU)^i$
[/mm]
$=p(U^HAU)$
$=p(D)$.
Da mit $D$ auch $p(D)$ eine Diagonalmatrix ist, folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Julius
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