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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Capi |
| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom
p(x)=x²-2ax+a
mit einem Parameter a [mm] \in \IR. [/mm] Faktorisieren Sie das Polynom in [mm] \IR [/mm] und in [mm] \IC. [/mm] (Hinweis: betrachten Sie verschiedene Fälle in Abhängigkeit von a) |
Hallo,
ich habe erstmal versucht mit der Mitternachtsformel die Nullstellenn zu bestimmen in Abhängigkeit von a:
x1,2= [mm] \bruch{2a \pm \wurzel{4a²-4a}}{2}= [/mm] a [mm] \pm \wurzel{a²-a}
[/mm]
Also gibt es drei verschiedene Fälle:
1. Fall: für a [mm] (-\infty;0) [/mm] oder [mm] (1;\infty) [/mm] 2 Lösungen
2. Fall: für a [0;1] keine Lsung in R, nur in C
3. Fall: für a {0;1} 1 Lösung
Und da a [mm] \pm \wurzel{a²-a} [/mm] die Nullstellen sind, könnte man das Polynom doch so faktorisieren, oder?
p(x) = (x-(a + [mm] \wurzel{a²-a}) [/mm] (x-(a - [mm] \wurzel{a²-a})
[/mm]
Allerdings glaube ich, dass das die Aufgabe nicht vollständig löst, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mo 24.11.2008 | | Autor: | RaisedFist |
dein bisheriges ergebnis ist leider falsch....
denn wenn du [mm] \bruch{2a\pm\wurzel{a^2-a}}{2} [/mm] kürzt, kommt nicht [mm] 2\pm\wurzel{a^2-a} [/mm] raus, sondern
[mm] 2\pm\bruch{\wurzel{a^2-a}}{2} [/mm] !
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Hallo RaisedFist,
> dein bisheriges ergebnis ist leider falsch....
>
> denn wenn du [mm]\bruch{2a\pm\wurzel{a^2-a}}{2}[/mm] kürzt
das will ja auch niemand kürzen, oben steht in der Wurzel noch bei beiden Summanden eine 4, die kürzt sich dann rausgezogen mit der 2 im Nenner weg
> , kommt
> nicht [mm]2\pm\wurzel{a^2-a}[/mm] raus, sondern
>
> [mm]2\pm\bruch{\wurzel{a^2-a}}{2}[/mm] ! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Lösungen der Gleichung im anderen post sind schon richtig, rechne es mit der p/q-Formel nach ...
Außerdem ist [mm] $\frac{2a}{2}=a\neq [/mm] 2$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Capi |
Ich kürze doch aber gar nicht so?
Ich habe die 4 unter der Wurzel ausgeklammert und dann aus der Wurzel gezogen, was dann [mm] \bruch{2a \pm 2\wurzel{(a²-a)}}{2} [/mm] ergibt?
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Hallo nochmal,
> Ich kürze doch aber gar nicht so?
> Ich habe die 4 unter der Wurzel ausgeklammert und dann aus
> der Wurzel gezogen, was dann [mm]\bruch{2a \pm 2\wurzel{(a²-a)}}{2}[/mm]
> ergibt? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
und das ist [mm] $=\frac{2a}{2}\pm\frac{2\sqrt{a^2-a}}{2}=a\pm\sqrt{a^2-a}$, [/mm] also genau deine Lösung(en) von oben
Da dein Polynom p(x) schon "normiert" ist, benutze statt der Mitternachtsformel doch direkt die p/q-Formel, dann kommt es zu keinen Streitigkeiten 
LG
schachuzipus
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Hallo Capi,
> Gegeben sei das Polynom
> p(x)=x²-2ax+a
> mit einem Parameter a [mm]\in \IR.[/mm] Faktorisieren Sie das
> Polynom in [mm]\IR[/mm] und in [mm]\IC.[/mm] (Hinweis: betrachten Sie
> verschiedene Fälle in Abhängigkeit von a)
> Hallo,
>
> ich habe erstmal versucht mit der Mitternachtsformel die
> Nullstellenn zu bestimmen in Abhängigkeit von a:
>
> x1,2= [mm]\bruch{2a \pm \wurzel{4a²-4a}}{2}=[/mm] a [mm]\pm \wurzel{a²-a}[/mm]
>
> Also gibt es drei verschiedene Fälle:
> 1. Fall: für a [mm](-\infty;0)[/mm] oder [mm](1;\infty)[/mm] 2 Lösungen
> 2. Fall: für a [0;1] keine Lsung in R, nur in C
Schriebe es so: \IR, \IC, das gibt [mm] $\IR, \IC$
[/mm]
> 3. Fall: für a [mm] \red{\in} [/mm] {0;1} 1 Lösung
>
> Und da a [mm]\pm \wurzel{a²-a}[/mm] die Nullstellen sind, könnte
> man das Polynom doch so faktorisieren, oder?
>
> p(x) = (x-(a + [mm]\wurzel{a²-a})[/mm] (x-(a - [mm]\wurzel{a²-a})[/mm]
>
> Allerdings glaube ich, dass das die Aufgabe nicht
> vollständig löst, oder?
Ich finde, das sieht gut aus ...
Schreibe vllt. nochmal an die faktorisierte Darstellung dran, für welche a sie gilt, aber das hast du eigentlich auch schon oben gesagt, also ich finde, es ist vollst. gelöst, für den Fall a=0 ergibt sich halt speziell die Darstellung [mm] $p(x)=x\cdot{}x$ [/mm] und für a=1 speziell $p(x)=(x-1)(x-1)$, aber das deckt der allg. Fall alles ab
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Capi |
Ok, danke.
Und das gilt auch für das Polynom in [mm] \IC? [/mm] In der Aufgabenstellung hört sich das für mich so an, als ob ich da nochmal extra was machen sollte...
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Hallo nochmal,
> Ok, danke.
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> Und das gilt auch für das Polynom in [mm]\IC?[/mm] In der
> Aufgabenstellung hört sich das für mich so an, als ob ich
> da nochmal extra was machen sollte...
uii, das habe ich geflissentlich überlesen.
Kurz vorab, ich sehe gerade, dass du im 2.Fall ein geschlossenes Intervall genommen hast, das muss aber offen sein, x=0,1 hast du ja im 3.Fall separat!
Naja, in [mm] $\IC$ [/mm] kannst du ja Wurzeln aus negativen Zahlen zeihen, die obige Zerlegung gilt also für alle [mm] $a\in\IR$, [/mm] auch wenn die Diskriminante < 0 wird
In [mm] $\IR$ [/mm] gibt's für [mm] $a\in [/mm] (0,1)$ keine Zerlegung, das Polynom bleibt quadratisch
Im Falle, wo die Diskriminante negativ ist, also für [mm] $a\in [/mm] (0,1)$ kannst du das [mm] $\sqrt{a^2-a}$ [/mm] noch schreiben als [mm] $i\cdot{}\sqrt{a-a^2}$ [/mm] für die rein komplexe Zerlegung ...
LG
schachuzipus
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