Polynom finden/Inverse bilden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mo 05.05.2008 | | Autor: | fkerber |
| Aufgabe | a)
Sei A [mm] \in [/mm] GL(n,K). Zeigen Sie, dass es ein Polynom p [mm]\in K[t]_{\le n-1}[/mm] gibt mit p(A) = [mm] A^{-1}
[/mm]
b)
Bestimmen Sie dieses Polynom für
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
und berechnen Sie damit die Inverse.
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Hallo!
Ich bin leider etwas ratlos...
Ich hab versucht, der Sache auf die Schliche zu kommen, indem ich mir angeschaut habe, wie eine allgemeine Matrix (also mit Einträgen a,b,c etc.) invertiert aussieht, allerdings hat mich das nicht wirklich weiter gebracht in Bezug auf das finden des Polynoms...
Wie könnte ich denn weiter vorgehen?
Hat dieses Polynom vllt. auch einen Namen (das Minimalpolynom ist doch das, wo 0 rauskommt beim Anwenden auf die Matrix?!)
Ciao und thx4hlp
fkerber
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> a)
> Sei A [mm]\in[/mm] GL(n,K). Zeigen Sie, dass es ein Polynom p [mm]\in K[t]_{\le n-1}[/mm] gibt mit p(A) = [mm]A^{-1}[/mm]
>
> b)
> Bestimmen Sie dieses Polynom für
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
> und berechnen Sie damit die Inverse.
> Hat dieses Polynom vllt. auch einen Namen (das Minimalpolynom ist doch das, wo 0 rauskommt beim Anwenden auf die Matrix?!)
Hallo,
ich denke, wenn Du in Richtung Minimalpolynom denkst, bist Du auf der richtigen Spur.
Das Minimalpolynom von A ist das normierte Polynom m kleinsten Grades, für welches m(A) die Nullmatrix ergibt.
Wissen solltest Du noch, daß jeder Eigenwert von A Nullstelle des Minimalpolynoms ist.
Die Invertierbarkeit von A hat Konsequenzen für die Eigenwerte: welchen Eigenwert kann A keinesfalls haben?
Wie sieht somit das Minimalpolynom aus, bzw. wie sieht es nicht aus?
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Du suchst ein Polynom P mit [mm] P(A)=A^{-1} [/mm] <==> AP(A)=E <==> AP(A)-E=0
Gruß v. Angela
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