Polynom in Linearfaktoren < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Di 17.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
| Aufgabe | | Zerlegen Sie das Polynom h= [mm] t^{6}-t^{3}+t-1 \in \IR[/mm] [t] in ein Produkt bestehend aus Linearfaktoren und einem Faktor g [mm] \in \IR[/mm] [t], der in [mm] \IR [/mm] keine Nullstelle hat. Kann g in [mm] \IR[/mm] [t] als ein Produkt von Polynomen echt kleineren Grades geschrieben werden? |
Und wurde gesagt wir sollen das mit dem Fundamentalsatz der Algebra machen. HAb mir den durchgelesen, versteh aber so gut wie nix.
Ich könnte das Polynom doch durch Polynomdivision zerlegen oder nicht? Kann ich dann in diesem Fall beispielsweise durch (t-1) teilen? Oder wie komm ich auf einen guten Teiler?
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Hallo Amiaz,
> Zerlegen Sie das Polynom h= [mm]t^{6}-t^{3}+t-1 \in \IR[/mm] [t]in ein Produkt bestehend aus Linearfaktoren und einem Faktor g [mm]\in \IR[/mm] [t], der in [mm]\IR[/mm] keine Nullstelle hat. Kann g in [mm]\IR[/mm] [t]als ein Produkt von Polynomen echt kleineren Grades geschrieben werden?
> Und wurde gesagt wir sollen das mit dem Fundamentalsatz der Algebra machen. HAb mir den durchgelesen, versteh aber so gut wie nix.
> Ich könnte das Polynom doch durch Polynomdivision zerlegen oder nicht?
Jo!
> Kann ich dann in diesem Fall beispielsweise durch (t-1) teilen? Oder wie komm ich auf einen guten Teiler?
Wenn du mit "gute" Teiler ganzzahlige Teiler meinst, dann ja!
Ganzzahlige Nullstellen sind ganzzahlige Teiler des Absolutgliedes (also desjenigen "ohne t")
Beachte, dass reelle Polynome ungeraden Grades stets eine Nullstelle haben (wieso?), dass du also ein Restpolynom $g$ geraden Grades bekommen wirst, also ein quadratisches oder eines mit Grad 4.
Dann musst du dir überlegen, ob du es weiter zerlegen kannst, aber dazu später mehr, wenn die "erste Zerlegung" steht 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Di 17.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
> Hallo Amiaz,
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> > Zerlegen Sie das Polynom h= [mm]t^{6}-t^{3}+t-1 \in \IR[/mm] [t]in ein Produkt bestehend aus Linearfaktoren und einem Faktor g [mm]\in \IR[/mm] [t], der in [mm]\IR[/mm] keine Nullstelle hat. Kann g in [mm]\IR[/mm] [t]als ein Produkt von Polynomen echt kleineren Grades geschrieben werden?
> > Und wurde gesagt wir sollen das mit dem Fundamentalsatz der Algebra machen. HAb mir den durchgelesen, versteh aber so gut wie nix.
> > Ich könnte das Polynom doch durch Polynomdivision zerlegen oder nicht?
>
> Jo!
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> > Kann ich dann in diesem Fall beispielsweise durch (t-1) teilen? Oder wie komm ich auf einen guten Teiler?
>
> Wenn du mit "gute" Teiler ganzzahlige Teiler meinst, dann ja!
>
> Ganzzahlige Nullstellen sind ganzzahlige Teiler des Absolutgliedes (also desjenigen "ohne t")
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> Beachte, dass reelle Polynome ungeraden Grades stets eine Nullstelle haben (wieso?)
Wir hatten glaub ich, dass Polynome mit geraden Grad auch eine gerade Anzahl an NUllstellen hat. Bei ungeraden Grad halt ungerade viele Nullstellen. Mehr weiß ich dazu nicht.
> Dann musst du dir überlegen, ob du es weiter zerlegen kannst, aber dazu später mehr, wenn die "erste Zerlegung" steht
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Also ich hab das nun zerlegt. Keine AHnung obs stimmt, aber hab raus: [mm] t^{5}+t^{4}+t^{3}+1
[/mm]
Muss ich das nun noch in ein POlynom 4.Grades zerlegen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Amiaz,
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> > > Zerlegen Sie das Polynom h= [mm]t^{6}-t^{3}+t-1 \in \IR[/mm] [t]in ein Produkt bestehend aus Linearfaktoren und einem Faktor g [mm]\in \IR[/mm] [t], der in [mm]\IR[/mm] keine Nullstelle hat. Kann g in [mm]\IR[/mm] [t]als ein Produkt von Polynomen echt kleineren Grades geschrieben werden?
> > > Und wurde gesagt wir sollen das mit dem Fundamentalsatz der Algebra machen. HAb mir den durchgelesen, versteh aber so gut wie nix.
> > > Ich könnte das Polynom doch durch Polynomdivision zerlegen oder nicht?
> >
> > Jo!
> >
> > > Kann ich dann in diesem Fall beispielsweise durch (t-1) teilen? Oder wie komm ich auf einen guten Teiler?
> >
> > Wenn du mit "gute" Teiler ganzzahlige Teiler meinst, dann ja!
> >
> > Ganzzahlige Nullstellen sind ganzzahlige Teiler des Absolutgliedes (also desjenigen "ohne t")
> >
> > Beachte, dass reelle Polynome ungeraden Grades stets eine Nullstelle haben (wieso?)
>
> Wir hatten glaub ich, dass Polynome mit geraden Grad auch eine gerade Anzahl an NUllstellen hat. Bei ungeraden Grad halt ungerade viele Nullstellen. Mehr weiß ich dazu nicht.
Wenn Du die Vielfachheiten mitzählst, stimmts
> > Dann musst du dir überlegen, ob du es weiter zerlegen kannst, aber dazu später mehr, wenn die "erste Zerlegung" steht
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
> Also ich hab das nun zerlegt. Keine AHnung obs stimmt, aber hab raus: [mm]t^{5}+t^{4}+t^{3}+1[/mm]
Das stimmt.
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> Muss ich das nun noch in ein POlynom 4.Grades zerlegen?
Ja
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Di 17.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
Bedankt.
Hab nun durch (t+1)geteilt und folgendes raus:
[mm] t^{4}+t^{2}-t+1
[/mm]
Das lässt sich nun nicht weiter zerlegen?!
Ich weiß noch irgendwie nicht was ich mit dem g [mm] \in \IR[/mm] [t] aus der Aufgabenstellung anfangen soll...hab ich das nun schon?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Di 17.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Bedankt.
> Hab nun durch (t+1)geteilt und folgendes raus:
> [mm]t^{4}+t^{2}-t+1[/mm]
> Das lässt sich nun nicht weiter zerlegen?!
So ist es.
[mm] $t^{4}+t^{2}-t+1$ [/mm] hat keine Nullstellen in [mm] \IR
[/mm]
> Ich weiß noch irgendwie nicht was ich mit dem g [mm]\in \IR[/mm]
> [t]aus der Aufgabenstellung anfangen soll...hab ich das nun schon?
Ja, denn [mm] g\in\IR[/mm] [t] war ja ein nicht zerlegbares Polynom.
Marius
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