Polynom irreduzibel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist das Polynom [mm] x^2+4x+23 [/mm] in [mm] \IZ_{53} [/mm] irreduzibel? Tip: Polynom vom Grad kleiner gleich 3 ist reduzibel über k gdw Polynom hat NS in k.
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Hallo!
So, ich wollte jetzt mal testen, ob das Polynom über [mm] \IZ_{53} [/mm] Nullstellen hat, weiß aber grad nicht, wie ich das möglichst schnell erledige. Kann ja schlecht 52 Elemente einsetzen und schauen, obs irgendwann Null wird. Also wenn man so die Nullstellen ausrechnet sieht man ja, dass das Polynom nur komplexe Nullstellen hat, da unter der Wurzel -19 steht. -19 ist aber ja jetzt bei [mm] \IZ_{53} [/mm] kongruent zu plus 34. Muss ich das iwie beachten?
Also mir ist noch nicht klar, wie ich da rangehe.
[mm] x^2+4x [/mm] müsste ja kongruent zu -23 mod 53 sein, dann hätte das Polynom Nullstellen über [mm] \IZ_{53} [/mm] oder? Hilft mir das weiter?
Danke für eure Tipps!
Lg, Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:58 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ist das Polynom [mm]x^2+4x+23[/mm] in [mm]\IZ_{53}[/mm] irreduzibel? Tip:
> Polynom vom Grad kleiner gleich 3 ist reduzibel über k gdw
> Polynom hat NS in k.
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> Hallo!
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> So, ich wollte jetzt mal testen, ob das Polynom über
> [mm]\IZ_{53}[/mm] Nullstellen hat, weiß aber grad nicht, wie ich
> das möglichst schnell erledige. Kann ja schlecht 52
> Elemente einsetzen und schauen, obs irgendwann Null wird.
> Also wenn man so die Nullstellen ausrechnet sieht man ja,
> dass das Polynom nur komplexe Nullstellen hat, da unter der
> Wurzel -19 steht. -19 ist aber ja jetzt bei [mm]\IZ_{53}[/mm]
> kongruent zu plus 34. Muss ich das iwie beachten?
> Also mir ist noch nicht klar, wie ich da rangehe.
> [mm]x^2+4x[/mm] müsste ja kongruent zu -23 mod 53 sein, dann
> hätte das Polynom Nullstellen über [mm]\IZ_{53}[/mm] oder? Hilft
> mir das weiter?
Mach doch mal quadratische Ergaenzung. Dann siehst du, welche Wurzel existieren muss, damit es eine Loesung gibt. Weisst du, wie man gucken kann, ob ein Element in [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] eine Wurzel hat, also ein quadratischer Rest ist?
LG Felix
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Hallo!
Also ich hatte ja schon gesehen, dass die Wurzel aus -19 existieren muss (das kommt bei der quadratischen Ergänzung natürlich auch raus: [mm] x^2+4x+23 [/mm] = 0 [mm] \gdw x^2 [/mm] +4x+4-4 +23 = 0 [mm] \gdw (x+2)^2 [/mm] = -19 [mm] \gdw [/mm]
x = - [mm] \wurzel{-19} [/mm] -2 oder [mm] x=\wurzel{-19} [/mm] -2. ) Oder ist hier was falsch? (Das wäre ja mal peinlich *g)
Ja, ich weiß, wie man schaut, ob eine Zahl QNR (quadratischer Nichtrest) oder eben Rest in $ [mm] \IZ/n\IZ [/mm] $ ist.
Heißt das, ich muss jetzt einfach gucken, ob [mm] x^2 \equiv [/mm] -19 mod 53, also ob -19 QR in $ [mm] \IZ/53\IZ [/mm] $ ?
Mit dem Quadratischen Reziprozitätsgesetz und dem 2. Ergänzungssatz erhalte ich, dass [mm] (\bruch{-19}{53} [/mm] )= -1, (wobei [mm] \bruch{a}{b} [/mm] Legendresymbol) also ist -19 QNR und somit ist das Polynom irreduzibel über $ [mm] \IZ/53\IZ [/mm] $ ?
Ist das soweit richtig?
Vielen Dank schonmal,
lg, Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Julia!
> Also ich hatte ja schon gesehen, dass die Wurzel aus -19
> existieren muss (das kommt bei der quadratischen
> Ergänzung natürlich auch raus: [mm]x^2+4x+23[/mm] = 0 [mm]\gdw x^2[/mm]
> +4x+4-4 +23 = 0 [mm]\gdw (x+2)^2[/mm] = -19 [mm]\gdw[/mm]
> x = - [mm]\wurzel{-19}[/mm] -2 oder [mm]x=\wurzel{-19}[/mm] -2. ) Oder ist
> hier was falsch? (Das wäre ja mal peinlich *g)
Ja, das ist richtig :)
> Ja, ich weiß, wie man schaut, ob eine Zahl QNR
> (quadratischer Nichtrest) oder eben Rest in [mm]\IZ/n\IZ[/mm] ist.
>
> Heißt das, ich muss jetzt einfach gucken, ob [mm]x^2 \equiv[/mm]
> -19 mod 53, also ob -19 QR in [mm]\IZ/53\IZ[/mm] ?
>
> Mit dem Quadratischen Reziprozitätsgesetz und dem 2.
> Ergänzungssatz erhalte ich, dass [mm](\bruch{-19}{53}[/mm] )= -1,
Ich weiss nicht was bei euch der 2. Ergaenzungssatz ist, aber das Ergebnis stimmt 
> (wobei [mm]\bruch{a}{b}[/mm] Legendresymbol) also ist -19 QNR und
> somit ist das Polynom irreduzibel über [mm]\IZ/53\IZ[/mm] ?
Genau.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Mo 05.07.2010 | | Autor: | BieneJulia |
Super, danke :)
Der 2. Ergänzungssatz lautet: [mm] (\bruch{2}{p}) [/mm] = 1, falls p [mm] \equiv [/mm] 1 oder 7 (8)
bzw. = -1, falls p [mm] \equiv [/mm] 3 oder 5 (8).
Lg, Julia
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