Polynom irreduzibel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: [mm] f(x)=x^3-7x^2+144 [/mm] ist irreduzibel in [mm] \IQ [/mm] [x] |
Hallo.
Ich habe die Aufgabe gelöst und würde gerne wissen, ob meine Argumentation richtig ist.
1)Man sieht, dass f(x) [mm] \in \IZ[x], [/mm] da 1,-7,144 [mm] \in \IZ
[/mm]
2) Betrachte [mm] \IZ_7. [/mm] Das Polynom in [mm] \IZ_7 [/mm] hat folgende Form [mm] f_7(x)=x^3+4
[/mm]
3) Setze nun die Elemente in [mm] \IZ_7 [/mm] ein, um zu gucken, ob dort das Polynom irreduzibel ist.
[mm] =>f(0)=0;f(1)=5;f(2)=\overline{12}=5;f(3)=\overline{31}=3;f(4)=\overline{67}=4;f(5)=\overline{129}=1;f(6)=\overline{220}=5
[/mm]
=>f(x) irreduzibel in [mm] \IZ[x]
[/mm]
4)Nach Lemma von Gauß ist f(x) auch irreduzibel in [mm] \IQ[x]
[/mm]
So, wie sieht es damit aus?
Vielen Dank schonmal
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Sa 24.11.2012 | | Autor: | teo |
> Zeige: [mm]f(x)=x^3-7x^2+144[/mm] ist irreduzibel in [mm]\IQ[/mm] [x]
> Hallo.
> Ich habe die Aufgabe gelöst und würde gerne wissen, ob
> meine Argumentation richtig ist.
> 1)Man sieht, dass f(x) [mm]\in \IZ[x],[/mm] da 1,-7,144 [mm]\in \IZ[/mm]
> 2)
> Betrachte [mm]\IZ_7.[/mm] Das Polynom in [mm]\IZ_7[/mm] hat
Diesen Satz darfst du nur hernehmen, wenn die Koeffizienten von f Teilerfremd sind! Das musst du unbedingt erwähnen!
Diese Schreibweise finde ich komisch. Du meinst ja den endlichen Körper mit 7 Elementen. Der hat normalerweise die Notation: [mm] \IF_7. [/mm] Außerdem meinst du den Polynomring [mm] \IF_7[x] [/mm] über dem Körper [mm] \IF_7. [/mm] Weiter ist die Wahl von [mm] \IF_7 [/mm] ziemlich unschön. Da musst du ja 7 Elemente überprüfen. Schöner und wesentlich einfacher ist doch [mm] \IF_2!
[/mm]
>folgende Form
> [mm]f_7(x)=x^3+4[/mm]
> 3) Setze nun die Elemente in [mm]\IZ_7[/mm] ein, um zu gucken, ob
> dort das Polynom irreduzibel ist.
>
> [mm]=>f(0)=0;f(1)=5;f(2)=\overline{12}=5;f(3)=\overline{31}=3;f(4)=\overline{67}=4;f(5)=\overline{129}=1;f(6)=\overline{220}=5[/mm]
> =>f(x) irreduzibel in [mm]\IZ[x][/mm]
> 4)Nach Lemma von Gauß ist f(x) auch irreduzibel in
> [mm]\IQ[x][/mm]
Der Rest passt. Du musst mit der Sprechweise aufpassen. Entweder betrachtest du das Polynom p(x) in einem Polynomring [mm] \IZ[x] [/mm] oder über einem Körper [mm] (\IZ).
[/mm]
> So, wie sieht es damit aus?
>
> Vielen Dank schonmal
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Hallo und danke schonmal für deine Antwort.
Ja, du hast recht. Ich hab es nicht sauber bzw. unpräzise aufgeschrieben.
Du sagst, du hättest [mm] \IF_2 [/mm] betrachtet.Dann habe ich auch gemacht und dann hat man folg. Ausdruck [mm] f(x)=x^5+1 [/mm] und man hat bei f(1)=2=0 eine Nullstelle und hab ich mich verrechnet?
Also stimmt insgesamt die Argumentation? Besonders hab ich das Lemma von Gauß richtig angewendet?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Sa 24.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, dein Polynom ist doch $f(x) = [mm] x^3 [/mm] - 7x +144 [mm] \in \IZ[x]$. [/mm] Aber du hast trotzdem recht. Entschuldigung. Mir erschien nur [mm] \IF_7 [/mm] als zu groß. Du hast ja nix falsch gemacht. Geht tatsächlich nicht mit nem kleineren Körper!
Grüße
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Vielen Dank für deine Hilfe!
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