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| Aufgabe | | Es sei K ein Körper und [mm] x_{1},...,x_{n} \in [/mm] K paarweise verschieden. Zeigen Sie, dass für jedes Tupel [mm] \alpha [/mm] = [mm] (\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \in K^{n} [/mm] ein eindeutiges Polynom [mm] f_{\alpha} \in [/mm] K[X] existiert mit deg( [mm] f_{\alpha}) [/mm] < n und [mm] f_{\alpha}(x_{i}) [/mm] = [mm] \alpha_{i} [/mm] für alle i [mm] \le [/mm] n. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Bei der Bearbeitung der Aufgabe komme ich nicht weiter.
Bei der 1 weiß ich nach Aufgabestellung, dass ich die Existenz und Eindeutigkeit zeigen muss. Nur fehlt mir ein Ansatz bei der Existenz.
Ich bedanke mich schon im Voraus für Eure Hilfe!
Mfg
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> Es sei K ein Körper und [mm]x_{1},...,x_{n} \in[/mm] K paarweise
> verschieden. Zeigen Sie, dass für jedes Tupel [mm]\alpha[/mm] =
> [mm](\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \in K^{n}[/mm] ein eindeutiges
> Polynom [mm]f_{\alpha} \in[/mm] K[X] existiert mit deg( [mm]f_{\alpha})[/mm]
> < n und [mm]f_{\alpha}(x_{i})[/mm] = [mm]\alpha_{i}[/mm] für alle i [mm]\le[/mm] n.
> Bei der 1 weiß ich nach Aufgabestellung, dass ich die
> Existenz und Eindeutigkeit zeigen muss. Nur fehlt mir ein
> Ansatz bei der Existenz.
> Ich bedanke mich schon im Voraus für Eure Hilfe!
> Mfg
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Klasse, daß Du Dich gleich mit der Formeleingabe hier im Forum beschäftigt hast, sie ist Dir ja perfekt gelungen!
Ich habe den Forenregeln entsprechend die 2.Aufgabe abgehängt in einen eigenen Thread.
Die Eindeutigkeit war also kein Problem.
Wegen der Existenz: schau Dich mal bei der Lagrange-Interpolation um...
LG Angela
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Wir haben Lagrange noch nicht gehabt, aber ich gucke mir mal das an.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 So 30.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei K ein Körper und [mm]x_{1},...,x_{n} \in[/mm] K paarweise
> verschieden. Zeigen Sie, dass für jedes Tupel [mm]\alpha[/mm] =
> [mm](\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \in K^{n}[/mm] ein eindeutiges
> Polynom [mm]f_{\alpha} \in[/mm] K[X] existiert mit deg( [mm]f_{\alpha})[/mm]
> < n und [mm]f_{\alpha}(x_{i})[/mm] = [mm]\alpha_{i}[/mm] für alle i [mm]\le[/mm] n.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Bei der Bearbeitung der Aufgabe komme ich nicht weiter.
> Bei der 1 weiß ich nach Aufgabestellung, dass ich die
> Existenz und Eindeutigkeit zeigen muss. Nur fehlt mir ein
> Ansatz bei der Existenz.
Ich schreibe f statt [mm] f_{\alpha}
[/mm]
Mach den Ansatz
[mm] f(x)=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}
[/mm]
Die Bedingungen [mm] f(x_i)=\alpha_i [/mm] führen auf ein LGS für [mm] a_0,..., a_{n-1} [/mm] mit der Koeffizientenmatrix
http://de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix
FRED
>
> Ich bedanke mich schon im Voraus für Eure Hilfe!
> Mfg
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