Polynom und komplexe Zahlen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Mi 02.12.2009 | | Autor: | frato |
Hallo ich habe folgende Aufgabe:
a) Sei [mm] f\varepsilonR[T] [/mm] (d.h. f ist Polynom mit reellen Koeffizienten in der Unbestimmten T), sei [mm] z\varepsilonC [/mm] eine Nullstelle von f. Zeigen Sie: Auch [mm]\bar z[/mm] ist Nullstelle von f.
b) Zeigen Sie: Für jede komplexe Zahl z sind die Koeffizienten des Polynoms (T-z)(T- [mm]\bar z[/mm] )
reell (d.h. (T-z)(T- [mm]\bar z[/mm] ) [mm] \varepsilon [/mm] R[T]
c) Folgern Sie aus a) und b) und dem Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten zerfällt in lineare und quadratische Faktoren
ich hätte mir das folgendermaßen gedacht:
zu a) Sei f Polynom der Form [mm] aT^{2}+bT+c [/mm] mit T Unbestimmte
Wenn [mm] z\varepsilonC [/mm] gleich NST, dann muss die Diskriminante [mm] \wurzel{b^{2}-4ac} [/mm] < 0
Die Mitternachtsformel ergibt [mm] T_{1/2}
[/mm]
Da [mm] \wurzel{b^{2}-4ac} [/mm] < 0 muss [mm] \wurzel{b^{2}-4ac} [/mm] Imaginärteil sein
1.NST ist [mm] \bruch{-b+\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a} \hat= [/mm] z
2.NST ist [mm] \bruch{-b-\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a} \hat=[/mm] [mm]\bar z[/mm]
zu b) (T-z)(T-[mm]\bar z[/mm] ) = [mm] T^{2} [/mm] - (z+[mm]\bar z[/mm])*T + z*[mm]\bar z[/mm]
c)habe ich mir noch nicht sehr viele Gedanken darüber gemacht, aber eigentlich wird das ja schon durch b) gezeigt oder?
Vielen Dank für alle Antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu a) Wieso betrachtest Du nur Polynome 2. Grades ?
Es ist
f[T]= [mm] $a_0+a_1T+....+a_nT^n$ [/mm] mit [mm] $a_0, [/mm] ..., [mm] a_n \in \IR$
[/mm]
z ist eine Nullstelle von f, also
(*) [mm] $a_0+a_1z+....+a_nz^n=0 [/mm] $
Jetzt konjugiere (*), d.h.
[mm] $\overline{a_0+a_1z+....+a_nz^n}=0 [/mm] $
Jetzt bist Du dran
Zu b)
Du hast schon
[mm] $(t-z)(T-\overline{z})= T^2-(z+\overline{z})T+z* \overline{z}$
[/mm]
warum machst Du nicht weiter ? Sind [mm] $z+\overline{z}$ [/mm] und $z* [mm] \overline{z}$ [/mm] reelle Zahlen oder nicht ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mi 02.12.2009 | | Autor: | frato |
> Zu a) Wieso betrachtest Du nur Polynome 2. Grades ?
>
> Es ist
>
> f[T]= [mm]a_0+a_1T+....+a_nT^n[/mm] mit [mm]a_0, ..., a_n \in \IR[/mm]
>
> z ist eine Nullstelle von f, also
>
> (*) [mm]a_0+a_1z+....+a_nz^n=0[/mm]
>
> Jetzt konjugiere (*), d.h.
>
> [mm]\overline{a_0+a_1z+....+a_nz^n}=0[/mm]
>
> Jetzt bist Du dran
>
> Zu b)
>
> Du hast schon
>
>
> [mm](t-z)(T-\overline{z})= T^2-(z+\overline{z})T+z* \overline{z}[/mm]
>
> warum machst Du nicht weiter ? Sind [mm]z+\overline{z}[/mm] und [mm]z* \overline{z}[/mm]
> reelle Zahlen oder nicht ?
>
>
> FRED
Oh das war mein Fehler. Wir hatten vorher eine Aufgabe, bei der T eine Polynom vom Grad 2 war. Und ich habs einfach übernommen... Sorry!
Hätte es jetzt nochmal wie folgt ergänzt:
also zu a)
Jedes Polynom lässt sich doch dann in Linearfaktoren zerlegen der Form
[mm] (T-a_{1})*(T-a_{2})*(T-a_{3})...(aT^{2}+bT+c)
[/mm]
wobei [mm] a_{1}, a_{2},... [/mm] die NST sind und zu [mm] (aT^{2}+Tb+c) [/mm] die komplexen NST z und somit auch [mm]\overline{z}[/mm] gehören. Letzteres kann man doch dann mit der Mitternachtsformel (wie oben) beweisen oder?
Allgemein bekommt man dann doch einen Ausdruck der Form:
[mm] (T-a_{1})*(T-a_{2})*(T-a_{3})...*(T-z)(T-\overline{z})
[/mm]
und zu b)
[mm](T-z)(T-\overline{z})= T^2-(z+\overline{z})T+z* \overline{z}[/mm]
sowohl [mm]z+\overline{z}[/mm] als auch [mm]z* \overline{z}[/mm] sind natürlich reelle Zahlen (muss ich das jetzt noch Beweisen, da der Beweis ja trivial ist) => Beh
zu c) aus a), b) und dem Fundamentalsatz der Algerba kann man dann folgern, dass sich jedes Polynom mit reellen Koeffizienten schreiben lässt als:
[mm] (T-a_{1})*(T-a_{2})*(T-a_{3})...(T^{2}+b_{1}+c_{1})*((T^{2}+b_{2}+c_{2})...
[/mm]
wobei zu [mm] (T^{2}+b+c) [/mm] die komplexen NST z und [mm]\overline{z}[/mm] gehören. Und für [mm] (T-z)(T-\overline{z}) [/mm] ebenfalls reelle Koeffizienten sind...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Zu a) Wieso betrachtest Du nur Polynome 2. Grades ?
> >
> > Es ist
> >
> > f[T]= [mm]a_0+a_1T+....+a_nT^n[/mm] mit [mm]a_0, ..., a_n \in \IR[/mm]
> >
>
> > z ist eine Nullstelle von f, also
> >
> > (*) [mm]a_0+a_1z+....+a_nz^n=0[/mm]
> >
> > Jetzt konjugiere (*), d.h.
> >
> > [mm]\overline{a_0+a_1z+....+a_nz^n}=0[/mm]
> >
> > Jetzt bist Du dran
> >
> > Zu b)
> >
> > Du hast schon
> >
> >
> > [mm](t-z)(T-\overline{z})= T^2-(z+\overline{z})T+z* \overline{z}[/mm]
>
> >
> > warum machst Du nicht weiter ? Sind [mm]z+\overline{z}[/mm] und [mm]z* \overline{z}[/mm]
> > reelle Zahlen oder nicht ?
> >
> >
> > FRED
>
> Oh das war mein Fehler. Wir hatten vorher eine Aufgabe, bei
> der T eine Polynom vom Grad 2 war. Und ich habs einfach
> übernommen... Sorry!
>
> Hätte es jetzt nochmal wie folgt ergänzt:
>
> also zu a)
> Jedes Polynom lässt sich doch dann in Linearfaktoren
> zerlegen der Form
> [mm](T-a_{1})*(T-a_{2})*(T-a_{3})...(aT^{2}+bT+c)[/mm]
> wobei [mm]a_{1}, a_{2},...[/mm] die NST sind und zu [mm](aT^{2}+Tb+c)[/mm]
> die komplexen NST z und somit auch [mm]\overline{z}[/mm] gehören.
> Letzteres kann man doch dann mit der Mitternachtsformel
> (wie oben) beweisen oder?
> Allgemein bekommt man dann doch einen Ausdruck der Form:
> [mm](T-a_{1})*(T-a_{2})*(T-a_{3})...*(T-z)(T-\overline{z})[/mm]
Warum setzt Du das nicht um, was ich Dir heute morgen gesagt habe ?
>
> und zu b)
> [mm](T-z)(T-\overline{z})= T^2-(z+\overline{z})T+z* \overline{z}[/mm]
>
> sowohl [mm]z+\overline{z}[/mm] als auch [mm]z* \overline{z}[/mm] sind
> natürlich reelle Zahlen (muss ich das jetzt noch Beweisen,
> da der Beweis ja trivial ist) => Beh
O:K.
>
> zu c) aus a), b) und dem Fundamentalsatz der Algerba kann
> man dann folgern, dass sich jedes Polynom mit reellen
> Koeffizienten schreiben lässt als:
>
> [mm](T-a_{1})*(T-a_{2})*(T-a_{3})...(T^{2}+b_{1}+c_{1})*((T^{2}+b_{2}+c_{2})...[/mm]
> wobei zu [mm](T^{2}+b+c)[/mm] die komplexen NST z und [mm]\overline{z}[/mm]
> gehören. Und für [mm](T-z)(T-\overline{z})[/mm] ebenfalls reelle
> Koeffizienten sind...
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 02.12.2009 | | Autor: | frato |
hm... ich glaube ich stehe/sitze momentan auf der Leitung.
also nochmal:
f[T]= [mm]a_0+a_1T+....+a_nT^n[/mm] mit [mm]a_0, ..., a_n \in \IR[/mm]
z ist eine Nullstelle von f, also
[mm]a_0+a_1z+....+a_nz^n=0[/mm]
[mm]\overline{a_0+a_1z+....+a_nz^n}=0[/mm]
[mm]\overline f(z)[/mm] [mm] =\overline{a_0+a_1z+....+a_nz^n}=[/mm] [mm]\overline0[/mm][mm] =0={a_0+a_1 \overline z+....+a_n (\overline z)^n} [/mm] = f( [mm]\overline z[/mm] )
mehr fällt mir dazu leider nicht ein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:45 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> hm... ich glaube ich stehe/sitze momentan auf der Leitung.
>
> also nochmal:
> f[T]= [mm]a_0+a_1T+....+a_nT^n[/mm] mit [mm]a_0, ..., a_n \in \IR[/mm]
>
> z ist eine Nullstelle von f, also
>
> [mm]a_0+a_1z+....+a_nz^n=0[/mm]
>
> [mm]\overline{a_0+a_1z+....+a_nz^n}=0[/mm]
>
> [mm]\overline f(z)[/mm] [mm]=\overline{a_0+a_1z+....+a_nz^n}=[/mm] [mm]\overline0[/mm][mm] =0={a_0+a_1 \overline z+....+a_n (\overline z)^n}[/mm]
> = f( [mm]\overline z[/mm] )
>
> mehr fällt mir dazu leider nicht ein...
Wieso nicht, schau doch nur hin, was Obiges bedeutet:
mit z ist auch [mm] \overline{z} [/mm] eine Nullstelle von f
!!
FRED
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. mit dem Satz "mehr fällt mir dazu leider nicht ein..." wollte ich nur sagen, dass mir nur dieser beweis noch eingefallen ist. das dort jetzt steht: mit z ist auch [mm]\overline{z}[/mm] eine Nullstelle von f habe ich schon gesehen (sonst hät ichs ja so nicht gemacht) 
!
