Polynom vs Polynomfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Wie unterscheidet man Polynome und Polynomfunktionen voneinander? |
Ich sitze gerade über dem Skript und sehe, dass unter dem Kapitel "Polynomfunktionen" erst die "Polynome" vorgestellt werden, mit Addition, Multiplikatioon und Skalarmultiplikation.
Zum Thema Polynomfunktionen sieht das "Polynom" (welches jetzt eine Funktion ist) etwas anders aus, statt vorher "T" sind die Variablen nun "x".
Grundsätzlich scheint es sich um dasselbe zu handeln - und wieder auch nciht.
Auf Wikipedia lese ich: "In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in x (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesem Begriff und dem eines Polynoms als Element eines Polynomrings."
Nun steht im Skript nichts von Polynomringen. Dennoch wird ein Unterschied gemacht.
Zu diesen P.-Ringen lese ich auf Wikipedia:
"Davon zu unterscheiden sind in der abstrakten Algebra die Polynomfunktionen, nicht zuletzt, weil unterschiedliche Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können."
Kann das mal jmd in einfachen Worten erläutern?
Wie gesagt, kommuntative Ringe etc. waren noch nicht Gegenstand des Stoffs...
Gelten verschiedene Darstellungen von Polynomen, die auf ein und dieselbe Normalform eines P.s führen, als verschiedene Polynome?
Und wie ist das mit den Funktionen zusammenzubringen?
|
|
| |
|
> Wie unterscheidet man Polynome und Polynomfunktionen
> voneinander?
> Ich sitze gerade über dem Skript und sehe, dass unter dem
> Kapitel "Polynomfunktionen" erst die "Polynome" vorgestellt
> werden, mit Addition, Multiplikatioon und
> Skalarmultiplikation.
>
> Zum Thema Polynomfunktionen sieht das "Polynom" (welches
> jetzt eine Funktion ist) etwas anders aus, statt vorher "T"
> sind die Variablen nun "x".
>
> Grundsätzlich scheint es sich um dasselbe zu handeln - und
> wieder auch nciht.
Hallo,
ich fänd's ganz gut, wenn Du genauer sagen würdest, was in Deinem Skript steht, wenn Du also vor allem die dortigen Definitionen von Polynom und Polynomfunktion liefern würdest, damit man konkret darauf eingehen kann.
Den Unterschied zwischen Polynom und Polynomfunktion sieht man deutlich, wenn man "Gleichheit" betrachtet:
Wann sind zwei Polynome gleich? Wenn alle Koeffizienten gleich sind.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn ihre Funktionswerte über dem gesamten Definitionsbereich gleich sind.
Der Unterschied wird klar, wenn wir Polynome über endl. Körpern betrachten:
Nehmen wir zwei Polynome über [mm] K:=\IZ [/mm] / [mm] 3\IZ,
[/mm]
und zwar
[mm] p:=T^3 [/mm] und q:=T.
Offenbar sind p und q nicht gleich.
Nun betrachten wir die durch diese Polynome induzierten Polynomfunktionen
[mm] f,g:\IZ [/mm] / [mm] 3\IZ\to \IZ [/mm] / [mm] 3\IZ [/mm] mit
[mm] f(x):=x^3 [/mm] und g(x):=x.
Wir stellen fest:
f(0)=0 [mm] \qquad \qquad [/mm] g(0)=0
f(1)=1 [mm] \qquad \qquad [/mm] g(1)=1
f(2)=2 [mm] \qquad \qquad [/mm] g(2)=2.
Die Funktionen stimmen auf dem gesamten Definitionsbereich überein, also ist f=g.
Dies mal so als Erste Hilfe, vielleicht reicht's ja sogar schon.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für die Antwort.
Deine Funktionen
"$ [mm] f,g:\IZ [/mm] $ / $ [mm] 3\IZ\to \IZ [/mm] $ / $ [mm] 3\IZ [/mm] $ mit
$ [mm] f(x):=x^3 [/mm] $ und g(x):=x.
Wir stellen fest:
f(0)=0 $ [mm] \qquad \qquad [/mm] $ g(0)=0
f(1)=1 $ [mm] \qquad \qquad [/mm] $ g(1)=1
f(2)=2 $ [mm] \qquad \qquad [/mm] $ g(2)=2. "
sind m. E. nicht gleich, da für x=3 unterschiedliche Funktionswerte herauskommen, wenn ich mcih nicht irre. [mm] 2^3 \not= [/mm] 2
Ich kenne auch diese Darstellung des Definitionsbereichs der Abbildung nicht. Heisst das, dass nur 3 bestimmte Elemente der gegebenen Zahlenmenge den Def-bereich darstellen?
"Wann sind zwei Polynome gleich? Wenn alle Koeffizienten gleich sind.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn ihre Funktionswerte über dem gesamten Definitionsbereich gleich sind."
Muss ich nochmal nachfragen:
Gelten verschiedene Darstellungen von Polynomen, die auf ein und dieselbe Normalform eines P.s führen, als verschiedene Polynome?
Angenommen ein Polynom liegt als Binom vor. Und dann multipliziert man diesen aus und erhält diesen in der Normalform
P: [mm] \sum_{i=0}^n a_iT^i\quad [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0. Wenn zudem noch eine weitere Darstellung von P, z. B. das Produkt zweier Binome möglich ist - sagt man, dass dies dieselben Polynome sind? Oder sind es verschiedene Polynome mit derselben Normalform? Oder sind es nur Polynome in spe, die erst Polynome werden, wenn sie in der Normalform vorliegen?
Und gibt es diesbzgl einen Unterschied zwischen Polynomen und P-Funktionen?
Meinem Verständnis nach sollten es jedenfalls alle Funktionen P(x) lt. diesem Bsp gleich sein, sodass nur von einer einzigen Polynomfktn die Rede sein kann (verschiedene Darstellungen hin oder her), denn das Bild ist ja bei allen dasselbe.
Von Koeffizientengleichheit kann ich ja nur Reden, wenn die Normalform vorliegt. Daher müsste für Polynome selbiges gelten wie ich gerade für P-Funktionen geschildert habe.
|
|
|
| |
|
> Deine Funktionen
>
> "[mm] f,g:\IZ[/mm] / [mm]3\IZ\to \IZ[/mm] / [mm]3\IZ[/mm] mit
> [mm]f(x):=x^3[/mm] und g(x):=x.
>
> Wir stellen fest:
>
> f(0)=0 [mm]\qquad \qquad[/mm] g(0)=0
> f(1)=1 [mm]\qquad \qquad[/mm] g(1)=1
> f(2)=2 [mm]\qquad \qquad[/mm] g(2)=2. "
>
> sind m. E. nicht gleich, da für x=3 unterschiedliche
> Funktionswerte herauskommen, wenn ich mcih nicht irre. [mm]2^3 \not=[/mm]
> 2
Hallo,
oh! [mm] \IZ/ 3\IZ\to \IZ / 3\IZ[/mm] bezeichnet die Menge der Restklassen modulo 3, ich ging davon aus, daß diese Dir bekannt sind.
Es ist ein Körper mit drei Elementen. (Es ist hier z.B. 7=1, denn 7 läßt bei Div. durch 3 den Rest 1.)
f und g sollen aus dieser Menge in diese Menge abbilden.
Wenn man modulo 3 rechnet, dann ist [mm] 2^3=2, [/mm] denn [mm] 2^3=8 [/mm] läßt bei Division durch 3 den Rest 2.
Daher sind die beiden Funktionen gleich.
Betrachtet als Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] I\R [/mm] wäre das natürlich nicht der Fall.
> "Wann sind zwei Polynome gleich? Wenn alle Koeffizienten
> gleich sind.
> Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn ihre Funktionswerte
> über dem gesamten Definitionsbereich gleich sind."
>
> Muss ich nochmal nachfragen:
>
> Gelten verschiedene Darstellungen von Polynomen, die auf
> ein und dieselbe Normalform eines P.s führen, als
> verschiedene Polynome?
> Angenommen ein Polynom liegt als Binom vor. Und dann
> multipliziert man diesen aus und erhält diesen in der
> Normalform
Auch das Produkt von Polynomen ist ein Polynom.
Ich denke, in Deiner VL wurden nicht nur Polynome definiert, sondern auch die Addition und die Multiplikation von Polynomen.
Schauen wir an die Polynome [mm] p,q\in \IR[T] [/mm] mit [mm] p:=T^2-1 [/mm] und q:=(T-1)(T+1).
Die sind gleich, denn es ist nach Def. des Produktes von Polynomen [mm] q=T^2+0T+1.
[/mm]
Also ist [mm] (T-1)(T+1)=T^2-1.
[/mm]
> Und gibt es diesbzgl einen Unterschied zwischen Polynomen
> und P-Funktionen?
> Meinem Verständnis nach sollten es jedenfalls alle
> Funktionen P(x) lt. diesem Bsp gleich sein, sodass nur von
> einer einzigen Polynomfktn die Rede sein kann (verschiedene
> Darstellungen hin oder her), denn das Bild ist ja bei allen
> dasselbe.
Ja.
>
> Von Koeffizientengleichheit kann ich ja nur Reden, wenn die
> Normalform vorliegt. Daher müsste für Polynome selbiges
> gelten wie ich gerade für P-Funktionen geschildert habe.
s.o.
LG Angela
>
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo,
Angela hat schon eine gute Antwort gegeben. Ich gehe mal von der Seite der Analysis heran.
Wenn du ein Polynom hast, dann hast du ein Element aus einer Menge (z.B. eben die Menge der aller Polynome). Aber das ist nur ein Element. Erst wenn du ein Polynom einer Funktion zuweist, hast du eine Abbildung. Und gerade das ist ja das interessante, dann kannst du bei der Funktion die Ableitung bilden, oder integrieren, oder sonstige wilde Sachen machen.
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Sa 08.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Wie unterscheidet man Polynome und Polynomfunktionen
> voneinander?
Hallo,
eine Funktion ist eine Zuordnung.
Ein Polynom ist "einfach nur" ein Term.
Wenn du dich schon bei Wikipedia informiert hast, solltest vor "Polynom" erst einmal den wesentlich grundlegenderen Begriff "Monon" erkunden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Monom
Das hilft sicher beim Verständnis.
Gruß Abakus
> Ich sitze gerade über dem Skript und sehe, dass unter dem
> Kapitel "Polynomfunktionen" erst die "Polynome" vorgestellt
> werden, mit Addition, Multiplikatioon und
> Skalarmultiplikation.
>
> Zum Thema Polynomfunktionen sieht das "Polynom" (welches
> jetzt eine Funktion ist) etwas anders aus, statt vorher "T"
> sind die Variablen nun "x".
>
> Grundsätzlich scheint es sich um dasselbe zu handeln - und
> wieder auch nciht.
>
> Auf Wikipedia lese ich: "In der elementaren Algebra
> identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in x
> (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra
> unterscheidet man streng zwischen diesem Begriff und dem
> eines Polynoms als Element eines Polynomrings."
>
> Nun steht im Skript nichts von Polynomringen. Dennoch wird
> ein Unterschied gemacht.
>
> Zu diesen P.-Ringen lese ich auf Wikipedia:
> "Davon zu unterscheiden sind in der abstrakten Algebra die
> Polynomfunktionen, nicht zuletzt, weil unterschiedliche
> Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können."
>
> Kann das mal jmd in einfachen Worten erläutern?
> Wie gesagt, kommuntative Ringe etc. waren noch nicht
> Gegenstand des Stoffs...
>
> Gelten verschiedene Darstellungen von Polynomen, die auf
> ein und dieselbe Normalform eines P.s führen, als
> verschiedene Polynome?
>
> Und wie ist das mit den Funktionen zusammenzubringen?
|
|
|
|
