Polynom zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei A eine nxn-Matrix [mm] (\IR) [/mm] mit [m]A * A = 0[/m]. Für t [mm] \in \IR [/mm] sei p(t):= [mm] det(E_{n} [/mm] + tA). Zeigen Sie:
- p ist ein Polynom mit [m]p(t) * p(-t) = 1[/m] für alle t [mm] \in \IR
[/mm]
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Hey,
das p(t) * p(-t) = 1 ist, ist relativ leicht nachzuweisen. Aber ich muss auch noch zeigen, dass das ein Polynom ist. Allerdings weiß ich da gar nicht wie ich ansetzen soll. Wir haben nie Eigenschaften von Polynomen besprochen. Unter einem Polynom kenne ich nur so etwas: [mm] p(x)=a_{0}+a_{1}x^1+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n
[/mm]
[mm] E_{n} [/mm] Ist eine Elemantarmatrix, d.h. eine Matrix, die durch elementare Zeilenumformungen aus der Einheitsmatrix entstanden ist.
Danke, Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Di 08.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Das ganze ist eigentlich gar nicht so schwer:
[mm] p(t)*p(-t)=det(E_n+tA)*det(E_n-tA)
[/mm]
Dafür gabs nen Satz: Die Determinante vom Produkt von 2 Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten beider Matrizen.
[mm] =det((E_n+tA)*(E_n-tA))
[/mm]
Das ist die 3. binomische Formel (dürfte auch für Matrizen gelten wegen Distributivität usw.)
[mm] =det(E_n^2-t^2*A^2) [/mm] mit der Bedingung A*A=0 folgt
[mm] =det(E_n)=1.
[/mm]
Das wars auch schon.
Gruß
Max
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:27 Di 08.01.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Hi, ich muss doch zeigen, dass p(t) auch ein Polynom ist. Das war meine eigentliche Frage. Dass bei dem Produkt 1 herauskommt habe ich schon selber bewiesen. Uns wurde aber extra gesagt, dass auch zu zeigen ist: "p ist ein Polynom!"
Danke trotzdem
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Patrick,
manchmal hilft es, wenn man sich mal an einem einfachen Beispiel klar macht, was gemeint ist. Der Einfachheit halber nehme zunächst mal an, dass [mm] $E_n$ [/mm] die Einheitsmatrix ist und versuche herauszufinden, wie das ganze z.B. im [mm] $\IR^{3 \times 3}$ [/mm] aussieht. Wenn Du gar nicht weiter weißt, vielleicht sogar mal mit einem konkreten A des [mm] $\IR^{3 \times 3}$ [/mm] mit $A*A=0$.
Ich habe mir noch nicht viel weiter zu der Behauptung, dass $p$ eine Polynom ist, überlegt, aber generell wird man hier sicherlich die Eigenschaften der Determinante brauchen (Linearität in Spalten bzw. Zeilen, alternierend...) und bzw. oder den Entwicklungssatz von Laplace. Zum Beispiel könntest Du jetzt mal für [mm] $E_n$ [/mm] die Einheitsmatrix des [mm] $\IR^3$ [/mm] hernehmen, eine Matrix des [mm] $\IR^{3 \times 3}$ [/mm] mit $A*A=0$ (rechterhand eigentlich die 0-Matrix des [mm] $\IR^{3 \times 3}$) [/mm] und Dir anschauen, wie für diese spezielle [mm] $E_3$ [/mm] und $A$ dann p(t) aussieht, wenn Du [mm] det($E_3+t*A$) [/mm] z.B. nach Laplace entwickelst.
Wie gesagt, es könnte helfen, eine Beweisidee zu bekommen. Wenn es nicht klappt, dann guck' noch mal in Deine Unterlagen, ob Du nicht irgendwas findest, was interessant wäre. Deine Matrix $A$ ist z.B. eine nilpotente Matrix, vll. findet man etwas interessantes über deren Eigenwerte usw...
Wie gesagt, das sind alles nur Stichworte, die mir gerade einfallen, die Dich evtl. weiterbringen könnten. Es ist keine Lösung, ich weiß auch nicht, ob es wirklich zielführend ist, aber es ist ja auch Deine Aufgabe, eine Lösung zu erarbeiten und manchmal muss man einfach mal etwas (ver-)suchen, schaden wird es nicht 
Gruß,
Marcel
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Hm, vielleicht sollte ich Teil b.) der Aufgabe auch noch angeben:
Zeigen Sie:
[mm] det(E_{n} [/mm] + tA) = 1 für alle t [mm] \in \IR
[/mm]
Den Teil habe ich so gelöst:
det A = det A
[mm] \gdw [/mm] det A = det [mm] E_{n} [/mm] * det A
[mm] \gdw [/mm] det A = det [mm] (E_{n} [/mm] * A)
[mm] \gdw [/mm] det A = det [mm] (E_{n} [/mm] * A + [mm] \underbrace{t *A*A}_{=0})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] det A = det [mm] ((E_{n} [/mm] + t *A )*A)
[mm] \gdw [/mm] det A = det [mm] (E_{n} [/mm] + t *A) * det A
[mm] \gdw [/mm] 1 = det [mm] (E_{n} [/mm] + t *A)
Kann ich nicht dann einfach schreibe, dass p(t) das konstanten Polynom mit p(t) = c = 1 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> det A = det [mm](E_{n}[/mm] + t *A) * det A
> [mm]\gdw[/mm] 1 = det [mm](E_{n}[/mm] + t *A)
Die letzte Äquivalenz würde allerdings nur gelten, wenn $det(A) [mm] \not=0$ [/mm] wäre (für $det(A)=0$ gilt die Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] i.a. nicht!)
Und das ist hier wegen [mm] $0=det(0)=det(A*A)=det(A)*det(A)=det(A)^2$ [/mm] sicher nicht gegeben.
Wenn Du allerdings auf einem anderen Wege direkt Teil b) zeigen könntest, würde a) sofort daraus folgen. Vermutlich wirst Du hier aber bei Teil b) den Teil a) benötigen, dass mit [mm] $p(t):=det(E_n+t*A)$ [/mm] dann $p$ ein Polynom mit der Eigenschaft $p(-t)*p(t)=1$ - für alle $t [mm] \in \IR$ [/mm] - ist.
Wenn Du nämlich ein solches Polynom hast, so kann es schonmal nicht das Nullpolynom sein. Hätte das Polynom einen Grad [mm] $\ge [/mm] 1$, so würde es bei $t [mm] \to \pm \infty$ [/mm] betragsmäßig gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben, womit man einen Widerspruch zu $p(-t)*p(t)=1$ erhielte.
Also muss es den Grad $0$ haben, also konstant sein. Dann bleiben aber wegen der Eigenschaft $p(t)*p(-t)=1$ für alle $t [mm] \in \IR$ [/mm] nur noch zwei Möglichkeiten:
Entweder ist $p(t) [mm] \equiv [/mm] 1$, oder $p(t) [mm] \equiv [/mm] -1$. Zeige, dass $p(t) [mm] \equiv [/mm] -1$ nicht möglich ist.
Gruß,
Marcel
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Hey, also meinst du das jetzt also Widerspruchsbeweis. Ich nehme an, dass das Polynom vom Grad her größer oder gleich 1 ist.
> Wenn Du nämlich ein solches Polynom hast, so kann es
> schonmal nicht das Nullpolynom sein. Hätte das Polynom
> einen Grad [mm]\ge 1[/mm], so würde es bei [mm]t \to \pm \infty[/mm]
> betragsmäßig gegen [mm]\infty[/mm] streben, womit man einen
> Widerspruch zu [mm]p(-t)*p(t)=1[/mm] erhielte.
> Also muss es den Grad [mm]0[/mm] haben, also konstant sein. Dann
> bleiben aber wegen der Eigenschaft [mm]p(t)*p(-t)=1[/mm] für alle [mm]t \in \IR[/mm]
> nur noch zwei Möglichkeiten:
> Entweder ist [mm]p(t) \equiv 1[/mm], oder [mm]p(t) \equiv -1[/mm]. Zeige,
> dass [mm]p(t) \equiv -1[/mm] nicht möglich ist.
>
Ab wie kann ich denn zeigen, dass p(t) [mm] \not= [/mm] -1 stets ist. Ich schaffe es ja auch nicht die direkte Aufgabenstelleung zu beweisen, also das p(t)= 1 gilt.
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hey, also meinst du das jetzt also Widerspruchsbeweis. Ich
> nehme an, dass das Polynom vom Grad her größer oder gleich
> 1 ist.
Ja, und zwar in folgender Weise:
Nach a) ist $p$ dann ein Polynom (was Du noch zu zeigen hast!) mit $p(t)*p(-t) [mm] \equiv [/mm] 1$. Damit kommt $p(t) [mm] \equiv [/mm] 0$ nicht in Frage. Also hat $p$ entweder einen Grad [mm] $\ge [/mm] 1$, oder aber den Grad $0$.
> > Hätte das Polynom
> > einen Grad [mm]\ge 1[/mm], so würde es bei [mm]t \to \pm \infty[/mm]
> > betragsmäßig gegen [mm]\infty[/mm] streben, womit man einen
> > Widerspruch zu [mm]p(-t)*p(t)=1[/mm] erhielte.
Also kann $p$ schonmal nicht einen Grad [mm] $\ge [/mm] 1$ haben. Es bleibt nur die Alternative:
> > Also muss es den Grad [mm]0[/mm] haben, also konstant sein. Dann
> > bleiben aber wegen der Eigenschaft [mm]p(t)*p(-t)=1[/mm] für alle [mm]t \in \IR[/mm]
> > nur noch zwei Möglichkeiten:
> > Entweder ist [mm]p(t) \equiv 1[/mm], oder [mm]p(t) \equiv -1[/mm]. Zeige,
> > dass [mm]p(t) \equiv -1[/mm] nicht möglich ist.
> >
> Ab wie kann ich denn zeigen, dass p(t) [mm]\not=[/mm] -1 stets ist.
> Ich schaffe es ja auch nicht die direkte Aufgabenstelleung
> zu beweisen, also das p(t)= 1 gilt.
Nehmen wir mal an, es wäre [mm] $p(t)=det(E_n+t*A) \equiv [/mm] -1$. Ist [mm] $t_0 \in \IR$, [/mm] so gilt insbesondere [mm] $p(t_0)=-1$, [/mm] was [mm] $(p(t_0))^2=1$ [/mm] zur Folge hat. Dann folgt aber:
[mm] $1=1*1=det(E_n)*(p(t_0))^2=det(E_n)*det(E_n+t_0*A)*det(E_n+t_0*A)$
[/mm]
[mm] $=det(E_n*(E_n+t_0*A)^2)=...=p(2t_0)$
[/mm]
(Kannst Du die banale Rechnung dazwischen ergänzen?)
Hier wäre also mit [mm] $t':=2t_0 \in \IR$ [/mm] dann $p(t')=1$, wenn aber $p(t) [mm] \equiv [/mm] -1$ wäre, müsste aber natürlich auch $p(t')=-1$ gelten. Widerspruch.
Gruß,
Marcel
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> Hallo!
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> > Hey, also meinst du das jetzt also Widerspruchsbeweis. Ich
> > nehme an, dass das Polynom vom Grad her größer oder gleich
> > 1 ist.
>
> Ja, und zwar in folgender Weise:
> Nach a) ist [mm]p[/mm] dann ein Polynom (was Du noch zu zeigen
> hast!) mit [mm]p(t)*p(-t) \equiv 1[/mm]. Damit kommt [mm]p(t) \equiv 0[/mm]
> nicht in Frage. Also hat [mm]p[/mm] entweder einen Grad [mm]\ge 1[/mm], oder
> aber den Grad [mm]0[/mm].
>
> > > Hätte das Polynom
> > > einen Grad [mm]\ge 1[/mm], so würde es bei [mm]t \to \pm \infty[/mm]
> > > betragsmäßig gegen [mm]\infty[/mm] streben, womit man einen
> > > Widerspruch zu [mm]p(-t)*p(t)=1[/mm] erhielte.
>
> Also kann [mm]p[/mm] schonmal nicht einen Grad [mm]\ge 1[/mm] haben. Es
> bleibt nur die Alternative:
>
> > > Also muss es den Grad [mm]0[/mm] haben, also konstant sein. Dann
> > > bleiben aber wegen der Eigenschaft [mm]p(t)*p(-t)=1[/mm] für alle [mm]t \in \IR[/mm]
> > > nur noch zwei Möglichkeiten:
> > > Entweder ist [mm]p(t) \equiv 1[/mm], oder [mm]p(t) \equiv -1[/mm].
> Zeige,
> > > dass [mm]p(t) \equiv -1[/mm] nicht möglich ist.
> > >
> > Ab wie kann ich denn zeigen, dass p(t) [mm]\not=[/mm] -1 stets ist.
> > Ich schaffe es ja auch nicht die direkte Aufgabenstelleung
> > zu beweisen, also das p(t)= 1 gilt.
>
> Nehmen wir mal an, es wäre [mm]p(t)=det(E_n+t*A) \equiv -1[/mm]. Ist
> [mm]t_0 \in \IR[/mm], so gilt insbesondere [mm]p(t_0)=-1[/mm], was
> [mm](p(t_0))^2=1[/mm] zur Folge hat. Dann folgt aber:
>
> [mm]1=1*1=det(E_n)*(p(t_0))^2=det(E_n)*det(E_n+t_0*A)*det(E_n+t_0*A)[/mm]
> [mm]=det(E_n*(E_n+t_0*A)^2)=...=p(2t_0)[/mm]
> (Kannst Du die banale Rechnung dazwischen ergänzen?)
>
Ja, es ist ja dann
= det [mm] (E_{n}^2+2E_{n}*t_0*A+t_0^2*A^2)
[/mm]
=det [mm] (E_{n}^2+2E_{n}*t_0*A)
[/mm]
=det [mm] (E_{n}(E_n+2*t_0*A))
[/mm]
[mm] =det(E_n) [/mm] * det [mm] (E_n+2*t_0*A)
[/mm]
[mm] =p(2t_0)
[/mm]
> Hier wäre also mit [mm]t':=2t_0 \in \IR[/mm] dann [mm]p(t')=1[/mm], wenn aber
> [mm]p(t) \equiv -1[/mm] wäre, müsste aber natürlich auch [mm]p(t')=-1[/mm]
> gelten. Widerspruch.
>
Sehr schön. Vielen Dank :)
Bleibt also jetzt nur noch zu zeigen, dass es auch ein Polynom ist. Leider bin ich da immer noch nicht weitergekommen.
P.S.: Wir hatten übrigens auch noch keine Eigenwerte.
Patrick
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Patrick,
ich sollte vielleicht auch noch ergänzen, dass mir selbst mit dieser Aufgabenstellung noch nicht ganz klar ist, warum [mm] $det(E_n)=1$. [/mm] Ich meine, die Matrix [mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }$ [/mm] hat ja die Determinante $-1$. Du hast das aber verwendet [mm] ($det(E_n)=1$), [/mm] deswegen habe ich das jetzt auch einfach mal so übernommen. Steht das vielleicht zusätzlich in der Aufgabenstellung?
(P.S.: Gegebenenfalls entschuldige die Frage, es kann gut sein, dass ich gerade eine andere Auffassung des Begriffes "Elementarmatrix" habe und da Permutationsmatrizen mit reinschmeisse... Ich bin gerade nicht mehr so ganz vertraut mit dem Begriff "Elementarmatrix", ich werde das nachher ggf. mal nachschlagen, wobei es leider sein kann, dass das vermutlich nicht einheitlich gehalten ist...)
Wenn ich bei Wikipedia nachgucke, so gibt es verschiedene Typen von Elementarmatrizen und in manchen Skripten nennt man dann auch Permutationsmatrizen Elementarmatrizen, es müsste geklärt werden, wie dieser Begriff bei Euch nun konkret definiert wurde.
Naja, ansonsten wie gesagt, es handelt sich um eine nilpotente Matrix A, d.h. die Eigenschaft $A*A=0$ wird sicherlich nicht unwichtig für den Beweis, dass es sich um ein Polynom handelt, sein, das wird sicherlich benötigt werden (allgemein heißt eine solche Matrix nilpotent, wenn [mm] $A^{n_0}=0$ [/mm] für ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] (und damit gilt natürlich auch [mm] $A^n=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$)). [/mm]
Und dann wirst Du vielleicht mit dem Entwicklungssatz von Laplace weiterkommen... Wie gesagt, genauere Gedanken dazu habe ich mir noch nicht gemacht.
P.S.: Die ergänzten Zwischenschritte von Dir sind dann korrekt 
Gruß,
Marcel
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