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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 17.12.2005 | | Autor: | CY-BORG |
| Aufgabe | | Nullstellen aus Polynomdivision |
Hi,
Eine Funktion:
[mm] \bruch{1}{32} [/mm] * ( [mm] x^{5} [/mm] + [mm] 10x^{3} [/mm] + [mm] 20x^{2} [/mm] - 15x + 4 )
x0=1
Nach nach der Polynomdivision erhalte ich:
[mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 9x^{2} [/mm] + 11x - 4
Und nun die Frage: Wie sieht man dass die Nullstellen [mm] (x-1)^{4} [/mm] und (x+4) sind ohne nochmal die Polynomdivision durchzuführen bis man alle Nullstellen auf herkömmliche weise ausrechnet ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Sa 17.12.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo CY-BORG
> Nullstellen aus Polynomdivision
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> [mm]\bruch{1}{32}[/mm] * ( [mm]x^{5}[/mm] + [mm]10x^{3}[/mm] + [mm]20x^{2}[/mm] - 15x + 4 )
>
> x0=1
[mm] $x_0=1$ [/mm] ist nicht Nullstelle dieses Polynoms, denn
[mm] $f(1)=\bruch{1}{32}*(1+10+20-15+4)=\bruch{20}{32} \not= [/mm] 0$
Hast du dich vertippt?
Dein Vorschlag würde für die folgende Funktion passen:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{32}*(x^{5}$ [/mm] - [mm] $10x^{3}+20x^{2}-15x+4 [/mm] )$:
[mm] $\bruch{1}{32}*(x^{5}-10x^{3}+20x^{2}-15x+4 )=\bruch{1}{32}*(x-1)^4*(x+4)$
[/mm]
Wenn dies die "richtige" Funktion ist, kannst du folgendermassen vorgehen:
Als ganzzahlige Lösungen für die Gleichung
[mm] $\bruch{1}{32}*(x^{5}-10x^{3}+20x^{2}-15x+4 [/mm] )=0$
kommen nur Teiler von 4 in Frage: $ [mm] \pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 2, [mm] \pm [/mm] 4$;
(weil die Nullstellen gesucht sind, kann man den Faktor [mm] \bruch{1}{32} [/mm] weglassen). Durch Probieren findet man $+1$ und $-4$.
Nun dividierst du das Polynom durch $ [mm] (x-1)*(x+4)=x^2+3x-4 [/mm] $ und erhältst das Polynom [mm] $x^3-3x^2+3x-1$.
[/mm]
Es gilt nun: [mm] $x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$
[/mm]
(Bekanntlich ist [mm] $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)$
[/mm]
Somit hat man:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{32}*(x^{5}-10x^{3}+20x^{2}-15x+4)=\bruch{1}{32}*(x-1)^4*(x+4)$
[/mm]
Gruss
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 So 18.12.2005 | | Autor: | CY-BORG |
Hi,
Danke für die ausführliche Antwort,ich hab mich tatsächlich zuerst vertippt.
MfG CY-BORG
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