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| Aufgabe | Zeigen sie, dass die Gleichung x³ - 4x² + 3x + 2 = 0
Beweisen sie, dass [mm] x_{1} [/mm] = 2 und bestimmen sie die vollständige Lösungsmenge |
Ich habe 2 in alle x eingesetzt und 0 kam raus --> q.e.d.
ABER bei der Lösungsmengenbestimmung habe ich schwierigkeiten.
Die Lösung besagt, dass man das Polynom mit "x-2" dividieren muss. [mm] x_{1} [/mm] ist aber "+"2. Wieso wird das Vorzeichen vertauscht?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Disap |
Hi.
> Zeigen sie, dass die Gleichung x³ - 4x² + 3x + 2 = 0
>
> Beweisen sie, dass [mm]x_{1}[/mm] = 2 und bestimmen sie die
> vollständige Lösungsmenge
> Ich habe 2 in alle x eingesetzt und 0 kam raus --> q.e.d.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> ABER bei der Lösungsmengenbestimmung habe ich
> schwierigkeiten.
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> Die Lösung besagt, dass man das Polynom mit "x-2"
> dividieren muss. [mm]x_{1}[/mm] ist aber "+"2. Wieso wird das
> Vorzeichen vertauscht?
Das liegt daran, dass du deine Funktion gerne in ein Produkt der Nullstellen aufsplitten möchtest. So lässt sich die Funktion
$h(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 11x - 6$
auch so darstellen: $h(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$
In so einer Form kannst du sofort die Nullstellen ablesen, die wären dann [mm] x_1=1, x_2=2, x_3 [/mm] = 3.
$h(1) = [mm] 1^3 [/mm] - [mm] 6*1^2 [/mm] + 11*1 - 6 = 0$
+1 ist also eine Nullstelle, daher gilt für den einen Faktor (x - 1), da dieser (wenn man die Nullstelle [mm] x_1=1 [/mm] einsetzt) Null ergeben muss.
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Dunbi |
> Die Lösung besagt, dass man das Polynom mit "x-2"
> dividieren muss. [mm]x_{1}[/mm] ist aber "+"2. Wieso wird das
> Vorzeichen vertauscht?
Ich habe es mir so gemerkt:
Habe ich: [mm]h(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)[/mm] ,
so muss ich "nur" dafür sorgen, dass eine Klammer Null ergibt, damit die gesamte Gleichung Null ergibt (0*...=0). (-->Jede Nullstelle der Klammer ist eine Nullstelle der gesamten Gleichung) -->
(x-2)=0
x1=2
(x-1)=0
x2=1
(x-3)=0
x3=3
Gruß Dunbi
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