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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Betrachten Sie ein Polynom dritten Grades: [mm] f(x)=\sum_{n=0}^{3}a_nx^n [/mm] mit gegebenen [mm] a_n.
[/mm]
Die andere Darstellung ist [mm] f(x)=\sum_{n=0}^{3}b_n(x-x_0)^n. [/mm]
(i) Wie wählen Sie [mm] b_3, [/mm] sodass die beiden Darstellungen äquivalent sind?
(ii) Wie wählen Sie [mm] x_0, [/mm] so dass [mm] b_2=0 [/mm] gilt. Oder [mm] b_1=0?
[/mm]
(iii) Unter welchen Umständen wäre die Produktdarstellung [mm] f(x)=c_0(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) [/mm] mit [mm] c_i\in \mathbb{R} [/mm] für i=0,...,3 auch möglich? [Begründen Sie durch eine Skizze]. |
Hallo,
bin mir nicht ganz sicher, was ich überhaupt machen muss.
Bei (i) habe ich erst die einzelnen Summanden aufgeschrieben, wollte dann beide Darstellungen gleich setzen und das nach [mm] b_3 [/mm] auflösen.
Das wird aber sehr unübersichtlich, weil das [mm] x_0 [/mm] immer noch da drin ist.
Bei (ii) ergibt sich das gleiche Problem. Wie setze ich da überhaupt an?
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Hallo Unk,
> Betrachten Sie ein Polynom dritten Grades:
> [mm]f(x)=\sum_{n=0}^{3}a_nx^n[/mm] mit gegebenen [mm]a_n.[/mm]
> Die andere Darstellung ist
> [mm]f(x)=\sum_{n=0}^{3}b_n(x-x_0)^n.[/mm]
> (i) Wie wählen Sie [mm]b_3,[/mm] sodass die beiden Darstellungen
> äquivalent sind?
> (ii) Wie wählen Sie [mm]x_0,[/mm] so dass [mm]b_2=0[/mm] gilt. Oder [mm]b_1=0?[/mm]
> (iii) Unter welchen Umständen wäre die
> Produktdarstellung [mm]f(x)=c_0(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)[/mm] mit [mm]c_i\in \mathbb{R}[/mm]
> für i=0,...,3 auch möglich? [Begründen Sie durch eine
> Skizze].
> Hallo,
>
> bin mir nicht ganz sicher, was ich überhaupt machen muss.
> Bei (i) habe ich erst die einzelnen Summanden
> aufgeschrieben, wollte dann beide Darstellungen gleich
> setzen und das nach [mm]b_3[/mm] auflösen.
> Das wird aber sehr unübersichtlich, weil das [mm]x_0[/mm] immer
> noch da drin ist.
Der Koeffizient [mm]b_(3}[/mm] soll ja von x unabhängi sein.
Schreibe beide Darstellung ausführlich auf und vergleiche dann die Koeffizienten vor den Potenzen von x.
>
> Bei (ii) ergibt sich das gleiche Problem. Wie setze ich da
> überhaupt an?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Unk |
> Der Koeffizient [mm]b_(3}[/mm] soll ja von x unabhängi sein.
>
> Schreibe beide Darstellung ausführlich auf und vergleiche
> dann die Koeffizienten vor den Potenzen von x.
>
>
Ja genau das habe ich ja gemacht. Und überall ist eben dieses [mm] x_0 [/mm] drin.
Also folgendermaßen:
[mm] f_1(x)=\sum_{n=0}^{3}a_nx^n=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
[/mm]
und
[mm] f_2(x)=\sum_{n=0}^{3}b_n(x-x_0)^n=b_3(x-x_0)^3+b_2(x-x_0)^2+b_1(x-x_0)+b_0
[/mm]
[mm] =b_3x^3-b_3x^2x_0-2b_3x^2x_0+3b_3xx_{0}^2-b_3x_0^2+b_2x^2-2b_2xx_0+b_2x_0^2+b_1x-b_1x_0+b_0
[/mm]
Und was fange ich nun damit an?
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Hallo Unk,
> > Der Koeffizient [mm]b_(3}[/mm] soll ja von x unabhängi sein.
> >
> > Schreibe beide Darstellung ausführlich auf und vergleiche
> > dann die Koeffizienten vor den Potenzen von x.
> >
> >
>
> Ja genau das habe ich ja gemacht. Und überall ist eben
> dieses [mm]x_0[/mm] drin.
> Also folgendermaßen:
> [mm]f_1(x)=\sum_{n=0}^{3}a_nx^n=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm]
> und
>
> [mm]f_2(x)=\sum_{n=0}^{3}b_n(x-x_0)^n=b_3(x-x_0)^3+b_2(x-x_0)^2+b_1(x-x_0)+b_0[/mm]
>
> [mm]=b_3x^3-b_3x^2x_0-2b_3x^2x_0+3b_3xx_{0}^2-b_3x_0^2+b_2x^2-2b_2xx_0+b_2x_0^2+b_1x-b_1x_0+b_0[/mm]
>
> Und was fange ich nun damit an?
Nun, vergleiche die Polynom [mm]f_{1}\left(x\right)[/mm] und [mm]f_{2}\left(x\right)[/mm].
Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Unk |
> Nun, vergleiche die Polynom [mm]f_{1}\left(x\right)[/mm] und
> [mm]f_{2}\left(x\right)[/mm].
> Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten
> übereinstimmen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Das ist mir durchaus bewusst.
Also mal etwas genauer:
[mm] a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=b_3x^3-b_3x^2x_0-2b_3x^2x_0+3b_3xx_{0}^2-b_3x_0^2+b_2x^2-2b_2xx_0+b_2x_0^2+b_1x-b_1x_0+b_0
[/mm]
Vergleich aller [mm] x^3 [/mm] liefert mir doch aber bereits:
[mm] a_3x^3=b_3x^3 [/mm] oder muss ich da die dreier Potenz vom [mm] x_0 [/mm] mitberücksichtigen, also
[mm] a_3x^3=b_3x^3-b_3x_0^3 [/mm] ?
Das Vorgehen allgemein ist mir also schon bekannt. Mir geht es nur um diesen konkreten (unübersichtlichen) Fall, mit dem ich nicht so recht etwas anfangen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Unk!
> Vergleich aller [mm]x^3[/mm] liefert mir doch aber bereits:
> [mm]a_3x^3=b_3x^3[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und daraus folgt dann [mm] $a_3 [/mm] \ = \ [mm] b_3$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Unk |
> Und daraus folgt dann [mm]a_3 \ = \ b_3[/mm] .
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Achso, ja das schien mir irgendwie zu einfach zu sein. Aber umso besser.
Dann komme ich mal zum 2ten teil.
Löse ich das auch durch Koeffizientenvergleich? Ich habs versucht und wollte alle Koeffizienten von [mm] x^2 [/mm] vergleichen und da kommt man zu keiner Aussage für [mm] x_0, [/mm] sodass [mm] b_2=0 [/mm] gilt. Ebenso für [mm] b_1=0.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Sa 24.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh ich nicht du hast doch [mm] a2=-4b_3x_0+b2 [/mm] wieso soll hier b2 0 sein? [mm] x_0 [/mm] liegt noch nicht fest, deshalb muessen di b von [mm] x_0 [/mm] abhaengen.
jetzt noch die anderen Vergleiche.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:19 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> versteh ich nicht du hast doch [mm]a2=-4b_3x_0+b2[/mm] wieso soll
> hier b2 0 sein?
Ja eben. Ich habe mir die Frage nicht ausgedacht. Ich komme hier zwar auf [mm] -3b_3 [/mm] und entsprechend auf [mm] b_2=a_2+3b_3x_0. [/mm] Jetzt kann ich doch aber [mm] x_0 [/mm] nie so wählen, dass [mm] b_2=0 [/mm] gilt. Ich kann höchstens noch [mm] b_3 [/mm] durch [mm] a_3 [/mm] ersetzen, aber das hilft auch nichts.
Gleiches Spiel für [mm] b_1.
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:33 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Unk |
Achso ne quatsch, ich kann das dann ja =0 setzen, also [mm] a_2+3b_3x_0=0 [/mm] und dann nach [mm] x_0 [/mm] auflösen und das gleiche noch für das [mm] b_1.
[/mm]
Damit nur nochmal zu Aufgabenteil 3.
Betrachte ich [mm] f(x)=c_0(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) [/mm] dann sind doch [mm] c_1,c_2,c_3 [/mm] Nullstellen von f(x). Dementsprechend ist die Produktdarstellung auch möglich, wenn das Polynom drei Nullstellen hat.
Kann man das so sagen, oder ist da wohl was anderes gemeint?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 26.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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