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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl und n [mm] \in \IN [/mm] positiv.
Zeigen Sie:
1.) Ein irreduzibles Polynom f [mm] \in \IF_{p}[X] [/mm] ist gdw ein Teiler von [mm] P_{n} [/mm] = [mm] X^{p^{n}}-X, [/mm] wenn grad(f) ein Teiler von n ist.
2.) Das Polynom [mm] P_{n} \in \IF_{p}[X] [/mm] ist das Produkt aller irreduziblen normierten Polynome f [mm] \in \IF_{p}[X] [/mm] mit der Eigenschaft, dass grad(f) ein Teiler von n ist. |
Hallo ihr!
Ich beschäftige mich gerade mit obiger Aufgabe:
Also die 2 scheint ja irgendwie aus der 1 zu folgen, deshalb habe ich mich erstmal nur mit der 1 beschäftigt:
Es ist ja [mm] a^{p^{n}}=a, [/mm] also [mm] P_{n}(a)=0 [/mm] für alle a [mm] \in \IF_{p}. [/mm] D.h. die Linearfaktoren von [mm] P_{n} [/mm] sind alle (X-a) (eben für alle a).
[mm] P_{n} [/mm] hat nur einfache Nullstellen, weil [mm] P_{n}'=-1, [/mm] also [mm] P_{n}=\produkt_{a}^{}(X-a) [/mm] .
So, aber wie gehts jetzt weiter? Damit kann ich zwar P in LF zerlegen, aber wie komme ich von da auf die irreduziblen Polynome?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte 
Liebe Grüße,
Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mo 20.12.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Sei p eine Primzahl und n [mm]\in \IN[/mm] positiv.
> Zeigen Sie:
>
> 1.) Ein irreduzibles Polynom f [mm]\in \IF_{p}[X][/mm] ist gdw ein
> Teiler von [mm]P_{n}[/mm] = [mm]X^{p^{n}}-X,[/mm] wenn grad(f) ein Teiler von
> n ist.
>
> 2.) Das Polynom [mm]P_{n} \in \IF_{p}[X][/mm] ist das Produkt aller
> irreduziblen normierten Polynome f [mm]\in \IF_{p}[X][/mm] mit der
> Eigenschaft, dass grad(f) ein Teiler von n ist.
> Hallo ihr!
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> Ich beschäftige mich gerade mit obiger Aufgabe:
> Also die 2 scheint ja irgendwie aus der 1 zu folgen,
> deshalb habe ich mich erstmal nur mit der 1 beschäftigt:
>
> Es ist ja [mm]a^{p^{n}}=a,[/mm] also [mm]P_{n}(a)=0[/mm] für alle a [mm]\in \IF_{p}.[/mm]
> D.h. die Linearfaktoren von [mm]P_{n}[/mm] sind alle (X-a) (eben
> für alle a).
> [mm]P_{n}[/mm] hat nur einfache Nullstellen, weil [mm]P_{n}'=-1,[/mm] also
> [mm]P_{n}=\produkt_{a}^{}(X-a)[/mm] .
Was weißt du denn so über die Struktur von endlichen Körpern? Und welchen Grad hat [mm] F(p^n) [/mm] über F(p)? Kennst du den Gradsatz? Kannst du ihn hier irgendwie einbringen?
Soweit erstmal und Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo!
Also den Gradsatz kenne ich, allerdings ist mir gerade kein Zusammenhang zu irreduziblen Polynomen bekannt.
Liebe Grüße,
Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mo 20.12.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Also den Gradsatz kenne ich, allerdings ist mir gerade kein
> Zusammenhang zu irreduziblen Polynomen bekannt.
Welchen Grad hat denn nun [mm] F(p^n) [/mm] über F(p)? Und was weißt du über die multiplikative Gruppe eines endl. Körpers?
Gruß
Dieter
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