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| Aufgabe | Sei K ein Körper.
(a) Seien f,g [mm] \in [/mm] K[x], beide ungleich dem Nullpolynom. Zeigen Sie: es gibt genau ein normiertes Polynom h [mm] \in [/mm] K[x] kleinsten Grades mit der Eigenschaft, dass f und g das Polynom h teilen.
Bemerkung und Hinweis: Zeigen Sie, dass die Menge I:=<f> [mm] \cap [/mm] <g> ein Ideal in K[x] ist und benutzen Sie, dass K[x] ein Hauptidealring ist.
Wir nennen h das kleinste gemeinsame Vielfache von f und g und schreiben hierfür h=kgV(f,g).
(b) Seien n,m [mm] \in \IN. [/mm] Aus den Matrizen [mm] A_1 \in [/mm] Mat(n,n;K) und [mm] A_2 \in [/mm] Mat(m,m;K) bilden wir die Blockdiagonalmatrix [mm] \pmat{ A_1 & 0 \\ 0 & A_2 } \in [/mm] Mat(n+m,n+m;K).
Zeigen Sie, dass für jedes f [mm] \in [/mm] K[x] gilt: [mm] f(A)=\pmat{ f(A_1) & 0 \\ 0 & f(A_2) }.
[/mm]
(c) Zeigen Sie: [mm] \mu_A [/mm] = [mm] kgV(\mu_{A_1}, \mu_{A_2}). [/mm] |
Hallo erstmal,
ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe :s
Was ich bisher habe...
Zu (a):
Wir wissen f und g sind zwei Polynome. Sowohl f als auch g teilen das Polynom h, d.h. h liegt im Durchschnitt von f und g. Die Menge I wird definiert als der Durchschnitt von f und g. Folglich müsste h [mm] \in [/mm] I sein. Laut Skript (und Wikipedia ;) ) wissen wir, dass K[x] ein Hauptidealring bildet. Das Polynom h ist [mm] \in [/mm] K[x] und h [mm] \in [/mm] I, also müsste I [mm] \subseteq [/mm] K[x] sein. Daraus folgt dann, dass I ein Ideal ist, weil alle Teilmenge des Hauptidealringes Ideale bilden.
Ist dieser "Beweis" so akzeptabel?
Zu (b):
Also bei dieser Aufgabe habe ich große Probleme...
Um es mir etwas besser vorstellen zu können wähle ich mir [mm] A_1 \in [/mm] Mat(2,2;K) und [mm] A_2 \in [/mm] Mat(3,3;K) und würde dann ja eine (5x5)-Matrix der Gestalt: A= [mm] \pmat{ * & * & 0 & 0 & 0 \\ * & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * & * \\ }.
[/mm]
Nun habe ich ein beliebiges Polynom f gegeben und soll zeigen, dass wenn ich die Matrix A in das Polynom f einsetze quasi wieder eine Blockmatrix rauskommt. Ein Polynom hat ja die Gestalt [mm] x^4+3x³-4x²+6x-4 [/mm] (als ein konkretes Beispiel). In diese x'e des Polynoms würde ich ja meine Blockmatrix A einsetzen, also muss ich wissen was mit einer Blockmatrix passiert wenn sie potenziert oder mit einem Skalar multiplisiert wird. Aber potenzieren und mult. mit Skalar ändert die Gestalt der Blockmatrix nicht.
Ist das so richtig die Erklärung? Und wie beweise ich das dann am besten?
Zu (c):
Das Minimalpolynom ist ja der kleinste Teiler des chark. Polynoms.
Ich glaube diese Aufgabe hat was mit der größe der Blöcke zu tun. Dazu hätte ich die Frage, ob eine Blockdiagonalmatrix in jedem Block genau einen versch. Eigenwert stehen hat? Wenn ja, dann wäre dass Minimalpolynom doch [mm] \mu_A= (x-\lambda_1)^n*(x-\lambda_2)^m [/mm] mit [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] EW von A, bzw. Nullstellen des Minimalpolynoms.
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Sa 09.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Sei K ein Körper.
> (a) Seien f,g [mm]\in[/mm] K[x], beide ungleich dem Nullpolynom.
> Zeigen Sie: es gibt genau ein normiertes Polynom h [mm]\in[/mm] K[x]
> kleinsten Grades mit der Eigenschaft, dass f und g das
> Polynom h teilen.
>
> Bemerkung und Hinweis: Zeigen Sie, dass die Menge I:=<f>
> [mm]\cap[/mm] <g> ein Ideal in K[x] ist und benutzen Sie, dass K[x]
> ein Hauptidealring ist.
> Wir nennen h das kleinste gemeinsame Vielfache von f und g
> und schreiben hierfür h=kgV(f,g).
>
> (b) Seien n,m [mm]\in \IN.[/mm] Aus den Matrizen [mm]A_1 \in[/mm] Mat(n,n;K)
> und [mm]A_2 \in[/mm] Mat(m,m;K) bilden wir die Blockdiagonalmatrix
> [mm]\pmat{ A_1 & 0 \\ 0 & A_2 } \in[/mm] Mat(n+m,n+m;K).
> Zeigen Sie, dass für jedes f [mm]\in[/mm] K[x] gilt: [mm]f(A)=\pmat{ f(A_1) & 0 \\ 0 & f(A_2) }.[/mm]
>
> (c) Zeigen Sie: [mm]\mu_A[/mm] = [mm]kgV(\mu_{A_1}, \mu_{A_2}).[/mm]
> Hallo
> erstmal,
>
> ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe :s
>
> Was ich bisher habe...
>
> Zu (a):
> Wir wissen f und g sind zwei Polynome. Sowohl f als auch g
> teilen das Polynom h, d.h. h liegt im Durchschnitt von f
> und g.
Erstens: was ist h? Die Existenz eines solchen hs ist erst zu zeigen. Außerdem liegen alle Vielfachen von f und g in [m](f)\cap (g)[/m], was die erzeugten IDeale sind.
> Die Menge I wird definiert als der Durchschnitt von
> f und g.
Nein, als die von f und g erzeugten Ideale.
> Folglich müsste h [mm]\in[/mm] I sein.
Du musst das h erst konstruieren.
> Laut Skript (und
> Wikipedia ;) ) wissen wir, dass K[x] ein Hauptidealring
> bildet.
Sei also [m](f)\cap (g)[/m] gegeben, da es ein Hauptidealring ist, folgt was? Erst hier erhälst du dein h!
> Das Polynom h ist [mm]\in[/mm] K[x] und h [mm]\in[/mm] I, also müsste
> I [mm]\subseteq[/mm] K[x] sein. Daraus folgt dann, dass I ein Ideal
> ist, weil alle Teilmenge des Hauptidealringes Ideale
> bilden.
Nicht alle Teilmengen bilden Ideale - natürlich nicht!
> Ist dieser "Beweis" so akzeptabel?
Meine Meinung? Auf gar keinen Fall.
> Nun habe ich ein beliebiges Polynom f gegeben und soll
> zeigen, dass wenn ich die Matrix A in das Polynom f
> einsetze quasi wieder eine Blockmatrix rauskommt.
Genau - was heißt denn das Einsetzen genau?
> Ein
> Polynom hat ja die Gestalt [mm]x^4+3x³-4x²+6x-4[/mm] (als ein
> konkretes Beispiel). In diese x'e des Polynoms würde ich ja
> meine Blockmatrix A einsetzen, also muss ich wissen was mit
> einer Blockmatrix passiert wenn sie potenziert oder mit
> einem Skalar multiplisiert wird. Aber potenzieren und mult.
> mit Skalar ändert die Gestalt der Blockmatrix nicht.
Ja, aber das muss man im Zweifel noch zeigen.
> Ist das so richtig die Erklärung? Und wie beweise ich das
> dann am besten?
Das mit den Skalaren ist schon ziemlich klar, auch das es unter Addition abgeschlossen ist. Die Multiplikation ist wohl formal etwas haarig, aber ich würde da die Multiplikation etwas aufteilen, also man hat A und B, dann ist ja [m]A*B=(A*B*e_1,A*B*e_2,\ldots,A*B*e_n)[/m], also [m]A*(B_1|B_2)=(A*B_1,A*B_2)[/m], wobei die [m]B_i[/m] Matirzen sind deren Zeilenazhal der von B entspricht mit [m]B=(B_1|B_2)[/m], also B ist geschrieben mit [m]B_1[/m] gefolgt von [m]B_2[/m]. Und dann entsprechend weiterhangeln.
> Ich glaube diese Aufgabe hat was mit der größe der Blöcke
> zu tun.
Nein, das folgt aus der a) und der b). Setze das Minmalpolynom in b) ein - warum ist es dann Vielfaches der Minmalpolynome der Blöcke? Warum teilt das Minmalpolynom ein Vielfaches der Minmalpolynome der Blöcke? Was sagt uns nun a)?
> Dazu hätte ich die Frage, ob eine
> Blockdiagonalmatrix in jedem Block genau einen versch.
> Eigenwert stehen hat?
Nein, wieso sollte es? Es muss auch überhaupt keinen EW haben!
> Wenn ja, dann wäre dass
> Minimalpolynom doch [mm]\mu_A= (x-\lambda_1)^n*(x-\lambda_2)^m[/mm]
> mit [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] EW von A, bzw. Nullstellen des
> Minimalpolynoms.
Also das sicher nicht, dass sind nur zwei EW. Das gilt nur in ganz speziellen Fällen.
SEcki
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So, dann versuche ich es erneut...
Zu a):
Muss ich hier evtl. die Axiome abklappern? Also:
Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt ein Ideal, falls gilt:
(I1) I [mm] \subseteq [/mm] R ist eine Untergruppe bezüglich der Addition.
(I2) Ist r [mm] \in [/mm] R und s [mm] \in [/mm] I, so ist auch r · s [mm] \in [/mm] I.
Also I [mm] \not= \emptyset, [/mm] da I:= <f> [mm] \cap [/mm] <g> und f,g sind nicht das Nullpolynom. Sind a,b [mm] \in [/mm] I, dann sind auch a+b [mm] \in [/mm] I und [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] I gilt [mm] a^{-1} \in [/mm] I.
Aber wie ich (I2) richtig nachweisen soll, weiss ich nicht recht.
I ist also ein Ideal und Teilmenge von K[x]. Da K[x] Hauptidealring, folg I ist auch Hauptideal. Kann ich jetzt annhemen, dass es ein Polynom h [mm] \in [/mm] I gibt, dass f und g teilt? Wie komme ich dann darauf, dass es vom kleinsten Grad sein muss?
Zu c):
Hier verstehe ich noch nicht ganz, was du mit "setze Minimalpolynom in b) ein", könntest du mir noch einen Tipp zu der Aufgabe geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Zu a):
> Muss ich hier evtl. die Axiome abklappern? Also:
Nö.
> Also I [mm]\not= \emptyset,[/mm] da I:= <f> [mm]\cap[/mm] <g> und f,g sind
> nicht das Nullpolynom. Sind a,b [mm]\in[/mm] I, dann sind auch a+b
> [mm]\in[/mm] I und [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] I gilt [mm]a^{-1} \in[/mm] I.
> Aber wie ich (I2) richtig nachweisen soll, weiss ich nicht
> recht.
Was machst du da? <f> ist schon längst definiert als das von f erzeugte Ideal, das sollte ihr doch gemacht haben, oder?!
> I ist also ein Ideal und Teilmenge von K[x]. Da K[x]
> Hauptidealring, folg I ist auch Hauptideal. Kann ich jetzt
> annhemen, dass es ein Polynom h [mm]\in[/mm] I gibt, dass f und g
> teilt?
Ja, einen ggt - wir suchen aber ein kgV, die andere Richtung. Du hast zwei Ideale oben gegeben, den Schnitt zweier Ideale ist wieder ein Ideal.
> Wie komme ich dann darauf, dass es vom kleinsten
> Grad sein muss?
Das kgV?
> Zu c):
> Hier verstehe ich noch nicht ganz, was du mit "setze
> Minimalpolynom in b) ein", könntest du mir noch einen Tipp
> zu der Aufgabe geben?
Naja, bei der b) stehen Formeln da, wenn man die Matrix A in ein Polynom f einsetzt. Ein kgV ist ein Polynom, also kann man A einsetzen, oder?
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 10.05.2009 | | Autor: | erisve |
Hallo
also das mit der a) kann man sehr wohl mit den Axionen eines Ideals zeigen, zeige also die Idealaxiome, also Abgeschlossenheit bezüglicher der Adition und, dass wenn [mm] r\in f\cap [/mm] g und s [mm] \in [/mm] K(x) auch r*s [mm] \in g\cap f\capg
[/mm]
Dann hast du gezeigt, dass der Durchschnitt der Ideale wieder ein Ideal ist und kannst weiterfolgern
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:50 So 10.05.2009 | | Autor: | erisve |
wie ich das mit der Multiplikation aufschreiben soll versteh ich noch nicht so ganz...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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