Polynome abbilden < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Do 14.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
| Aufgabe | Man betrachte den Vektorraum $ [mm] \mathbb{R}\left[ t \right]_{\le n} [/mm] $
und die Abbildung $ [mm] p(t)\rightarrow [/mm] p(t+1) -p(t) $ |
Es geht in der Aufgabe darum(sorry habs ein bisschen abgekürzt) rauszufinden für welche $ [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] $ die Abbildung diagonalisierbar ist. Dafür würde ich jetzt die Standardbasis für den Vektorraum nehmen und erstmal eine allgemeine Abbildungsmatrix berechen, um mir die Eigenschaften von dem charak. Polynom anzugucken. Ich hab lange nichts mehr mit Polynomen gemacht und meine Frage lautet daher: Was ist das Ergebnis der Abbildung vom ersten Basisvektor?
also: $ f(1) = 0 $ ? Stimmt das? Sorry für die blöde Frage, die Herangehensweise sollte wohl richtig sein, denk ich.
Vielen Dank im voraus!!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 14.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(1)=0 ist richtig. du solltest sehen dass der grad der Pol. um 1 verkleinert wird
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 14.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Ahh ok danke, das seh ich jetzt auch. Kann es sein, dass dann die Abb. Matrizzen immer obere Dreiecksmatrizzen mit Nullen auf der Diagonalen sind? Das würde doch bedeuten, dass für die Abbildung für keine n diagonalisierbar ist oder?
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> Ahh ok danke, das seh ich jetzt auch. Kann es sein, dass
> dann die Abb. Matrizzen
Hallo,
als erstes schreiben wir jetzt mal Matrizen richtig.
Eine Matrix, viele Matrizen.
> immer obere Dreiecksmatrizzen mit
> Nullen auf der Diagonalen sind?
Kann sein.
> Das würde doch bedeuten,
> dass für die Abbildung für keine n diagonalisierbar ist
> oder?
Mit welcher Begründung?
Allein die Tatsache, daß die 0 n-facher Eigenwert ist, reicht nicht.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 14.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Tut mir leid hab ich übersehen:
(i): $ f(v_ n) = [mm] v_n [/mm] $
(ii): $ f(v_ n) = [mm] nv_n [/mm] $
So ergibt das natürlich erst Sinn. Ich dachte, dass ist eine genau dann wenn Aussage und damit wäre auch der umgekehrte Fall gegeben. Aber die zweite Abbildung ist ja dann auf jeden Fall diagonalisierbar.
Danke für die schnelle Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Tut mir leid hab ich übersehen:
>
> (i): [mm]f(v_ n) = v_n[/mm]
> (ii): [mm]f(v_ n) = nv_n[/mm]
>
> So ergibt das natürlich erst Sinn. Ich dachte, dass ist
> eine genau dann wenn Aussage und damit wäre auch der
> umgekehrte Fall gegeben. Aber die zweite Abbildung ist ja
> dann auf jeden Fall diagonalisierbar.
> Danke für die schnelle Antwort!
Hä ????
Wir waren doch bei dieser Aufgabe:
Man betrachte den Vektorraum $ [mm] \mathbb{R}\left[ t \right]_{\le n} [/mm] $
und die Abbildung $ [mm] p(t)\rightarrow [/mm] p(t+1) -p(t) $
Die Frage nach der Diagonalisierbarkeit kannst Du ohne Matrizen beantworten.
ich nenne die Abbildung mal f. Nimm an [mm] \mu [/mm] sei ein Eigenwert von f und p ein zugeh. Eigenvektor. Also
f(p)= [mm] \mu*p.
[/mm]
D.h.: p(t+1)-p(t)= [mm] \mu [/mm] p(t) für alle t [mm] \in \IR
[/mm]
Dann muß [mm] \mu \ne [/mm] -1 sein. Warum ?
Wir haben also
(*) p(t+1)=cp(t) für alle t [mm] \in \IR [/mm] ,
c= [mm] \mu+1 \ne [/mm] 0
Nun zeige, dass aus (*) folgt: p ist konstant.
Kann nun f im Falle n [mm] \ge [/mm] 1 diagonalisierbar sein ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Do 14.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Hab aus Versehen etwas zu einer anderen Fragestellung gepostet.. Tut mir leid für die Verwirrung. Ich versteh weder was es mir bringt zu zeigen, dass p konstant( oder f?) noch versteh ich wie man es zeigt!
Danke für die Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hab aus Versehen etwas zu einer anderen Fragestellung
> gepostet.. Tut mir leid für die Verwirrung. Ich versteh
> weder was es mir bringt zu zeigen, dass p konstant
Wenn n [mm] \ge [/mm] 1 ist und nur konstante Polynome als Eigenvektoren von f in Frage kommen, kann es keine Basis aus Eigenvektoren des Grundraumes geben. Damit kann f nicht diagonalisierbar sein.
> ( oder
> f?) noch versteh ich wie man es zeigt!
Hast du es mal versucht ?
FRED
> Danke für die Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Ich denke ich hab das verstanden, vielen dank auf jeden Fall mal für die Hilfe. Mir ist auf jeden Fall klar geworden, dass ich auf diesen Lösungsweg in der Klausur nicht gekommen wäre und das Thema damit auf gar keinen Fall ausreichend verstanden habe! :)
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 14.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hey,
Meinst du:
$ p(t) = {frac{p(t+1)}{c} $
Willst du darauf hinaus Fred, dass man dann die Dimension der Eigenräume von p bestimmen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Do 14.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Ich meine $ p(t) = [mm] \frac{p(t+1)}{c}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 14.02.2013 | | Autor: | Mapunzel |
Nein aber dann ist der Rang des Eigenraums ja auf jeden Fall kleiner als die algebraische Vielfachheit, das heißt doch nicht diagonalisierbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Do 14.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum Matriyen, warum diagonalisierbar_
Gruss leduart
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