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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Hanz |
Hallo, ich muss folgende Polynome in Linearfaktoren über [mm] \IQ, \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] zerlegen:
a) [mm] f=x^5-4x^4-4x^3+16x²+4x-16
[/mm]
b) [mm] g=x^5-41x³-49x²-48x-7
[/mm]
c) [mm] h=x^6-1
[/mm]
Hinweis: g und h haben zwei gemeinsame NST (in [mm] \IC).
[/mm]
So, was ich bisher habe ist....
- In [mm] \IQ [/mm] sind die Nullstellen von Polynomen ganzzahlig und Teiler des letzten Gliedes also des [mm] a_0 [/mm] in der Darstellung [mm] x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0
[/mm]
- Fundamentalsatz der Algebra besagt: in [mm] \IC [/mm] zerfällt jedes Polynom in genausoviele Linearfaktoren wie der Grad seines höchsten Monoms
Zu a):
In [mm] \IQ: [/mm] NST ist 4, also: [mm] (x-4)(x^4-4x²+4) [/mm] Hier liegen keine weiteren NST vor.
In [mm] \IR: [/mm] (x-4)(x²-2)(x²-2) [mm] \Rightarrow (x-4)(x-\wurzel{2})(x+\wurzel{2})(x-\wurzel{2})(x+\wurzel{2})
[/mm]
f zerfällt also schon in [mm] \IR [/mm] komplett.
Zu b):
in [mm] \IQ: [/mm] NST ist 7, also: [mm] (x-7)(x^4+7x^3+8x²+7x+1) [/mm] <- mit Polynomendivision errechnet
So, da [mm] \pm1 [/mm] keine NST, liegen hier keine weiteren vor.
In [mm] \IR: [/mm] Mein Problem was jetzt aufritt ist, ich weiß (durch einen Online-rechner), dass das Polynom noch zwei reelle NST und 2 komplexe besitzt. Aber ich weiss nicht, wie ich mit [mm] (x^4+7x^3+8x²+7x+1) [/mm] umgehen soll, also wie ich das weiter zerlegen soll, damit ich weiterarbeiten kann
Zu c):
In [mm] \IQ: [/mm] NST sind [mm] \pm [/mm] 1, also: [mm] (x-1)(x+1)(x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 1)
Hier liegen auch nun keine weiteren NST vor, aber auch hier weiss ich net mehr wie ich weiter daran arbeiten soll...
Bin für jeden Tipp dankbar!
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Hallo Hanz,
> in [mm]\IQ:[/mm] NST ist 7, also: [mm](x-7)(x^4+7x^3+8x²+7x+1)[/mm] <- mit
> Polynomendivision errechnet
> So, da [mm]\pm1[/mm] keine NST, liegen hier keine weiteren vor.
> In [mm]\IR:[/mm] Mein Problem was jetzt aufritt ist, ich weiß
> (durch einen Online-rechner), dass das Polynom noch zwei
> reelle NST und 2 komplexe besitzt. Aber ich weiss nicht,
> wie ich mit [mm](x^4+7x^3+8x²+7x+1)[/mm] umgehen soll, also wie ich
> das weiter zerlegen soll, damit ich weiterarbeiten kann
Sieht verdächtig aus: Koeffizient 1 vor [mm] x^4, [/mm] eine 1 als absolutes Glied, und ansonsten palindromisch - ich habe sofort einen Faktor erraten.
Systematischer wäre hier, eine Zerlegung [mm] (x^2+ax+1)(x^2+bx+1) [/mm] zu versuchen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Hanz |
So, hätte dann nochmal paar weiterführende Fragen:
1) Ist mein Lösungsweg für a) so richtig?
2) Würdest du mir verraten, wie man das sieht? >.<
3) Hab deine Methode angewand und bin auf folgendes gekommen:
(x-7)(x²+6x+1)(x²+1x+1) Nun bei der ersten die pq-Formel benutzen (bei der zweiten geht das noch nicht, da komplexe NST rauskommen und wir ja noch in [mm] \IR [/mm] sind), also:
[mm] (x-7)(x+3-\wurzel{8})(x+3+\wurzel{8})(x²+x+1)
[/mm]
[Habe ich die Vorzeichen in den Klammern richtig gesetzt, wenn die NST [mm] -3\pm\wurzel{8} [/mm] lauten?]
In [mm] \IC [/mm] gilt dann mit pq-Formel: NST von (x²+x+1) = [mm] -\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{3}{4}}i
[/mm]
Daraus ergibt sich isngesamt:
[mm] (x-7)(x+3-\wurzel{8})(x+3+\wurzel{8})(x+\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{3}{4}}i)(x+\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{3}{4}}i)
[/mm]
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Hallo Hanz,
zu a): perfekt gelöst
zu b): ebenso - alles richtig
Wie man das sieht? Mit einiger Rechenerfahrung sieht man halt manche Dinge, das findet sich von allein.
Es lohnt sich aber, z.B. Palindrome und ihre Eigenschaften zu kennen.
So ist [mm] (ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+cx^2+bx+a) [/mm] sicher durch [mm] (x^3+x^2+x+1) [/mm] teilbar. Das ist verallgemeinerbar - untersuch das mal. Es hilft erstaunlich oft weiter.
Hier hättest Du aber auch ohne den palindromischen Aufbau einen Versuch frei gehabt. In dem Wissen, dass bei ganzrationalen Polynomen oft Teiler vorliegen, die selbst ganzrational sind, und im Bewusstsein, dass Polynome von höherem Grad als 3 immer zerlegbar sind, hättest Du wohl sowieso den Ansatz [mm] (px^2+qx+r)(sx^2+tx+u) [/mm] gewählt und wegen ps=ru=1 erst einmal p=r=s=u=1 gewählt, also genau das ausprobiert, was Du jetzt ausprobiert hast. Und wenn das nicht klappt: einen allgemeineren Ansatz wählen (also nicht p=r=s=u=1 ansetzen).
Grüße
reverend
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